Ejercicio resuelto de Inecuaciones · Matemáticas CCSS · 2022

2.Las pruebas de selección de personal de una empresa consisten, entre otras actividades, en un test de 80 preguntas. Cada pregunta bien contestada suma 1 punto, cada pregunta mal contestada resta 0,5 puntos, no sumando ni restando las preguntas que se dejan sin contestar. Para aprobar hay que obtener al menos 35 puntos en el test.
a) [1,75 puntos] ¿Cuántas preguntas se pueden contestar correctamente y cuántas se pueden fallar para aprobar? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Se podría aprobar contestando exactamente 40 preguntas bien y 20 mal?
b) [0,75 puntos] ¿Cuántas preguntas hay que contestar correctamente y cuántas fallar para aprobar dejando el máximo número de preguntas sin contestar? ¿Cuántos puntos se obtendrían en ese caso?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{preguntas}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{pueden}}\mathbf{\text{contestar}}\mathbf{\text{correctamente}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{pueden}}\mathbf{\text{fallar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{aprobar?}}\mathbf{\text{Plantea}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{representa}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{conjunto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{soluciones.}}\mathbf{\text{¿Se}}\mathbf{\text{podr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{aprobar}}\mathbf{\text{contestando}}\mathbf{\text{exactamente}}\mathbf{\text{40}}\mathbf{\text{preguntas}}\mathbf{\text{bien}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{mal?}}\mathbf{\text{[1,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se llama $x$ al número de preguntas acertadas e $y$ al de falladas. Las que se dejan en blanco no puntúan, así que solo hay dos restricciones:

$\{\begin{array}{ll}x+y\le 80& \text{el test tiene 80 preguntas}\\ x-\mathrm{0,5}y\ge 35& \text{hay que sacar al menos 35 puntos}\\ x\ge 0,y\ge 0& \end{array}$



El recinto es un triángulo. Los vértices salen de cortar las rectas con los ejes y entre sí:

$x-\mathrm{0,5}y=35$ con $y=0$ da $A(35,0)$; $x+y=80$ con $y=0$ da $B(80,0)$, y las dos rectas entre sí:

$\{\begin{array}{l}x+y=80\\ x-\mathrm{0,5}y=35\end{array}⟹80-y-\mathrm{0,5}y=35⟹\mathrm{1,5}y=45⟹C(50,30)$

Para la pregunta concreta, 40 aciertos y 20 fallos dan

$40-\mathrm{0,5}\cdot 20=40-10=30\text{ puntos}$

que no llegan a 35. Por tanto, $\mathbf{\text{no}}$ se aprobaría; el punto $P(40,20)$ queda fuera del recinto, a la izquierda de la recta de los 35 puntos.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{preguntas}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contestar}}\mathbf{\text{correctamente}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{fallar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{aprobar}}\mathbf{\text{dejando}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{preguntas}}\mathbf{\text{sin}}\mathbf{\text{contestar?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{obtendr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{caso?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Las preguntas en blanco son $80-x-y$, así que maximizarlas equivale a $\mathbf{\text{minimizar}}$ la función

$F(x,y)=x+y$

Se evalúa en los tres vértices:

$F(35,0)=35F(80,0)=80F(50,30)=80$

El mínimo es 35, en el vértice $A(35,0)$: hay que acertar $\mathbf{\text{35}}\mathbf{\text{preguntas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{fallar}}\mathbf{\text{ninguna}}$, dejando $80-35=45$ en blanco. La puntuación en ese caso es

$35-\mathrm{0,5}\cdot 0=\mathbf{\text{35}}\mathbf{\text{puntos}}$

es decir, justo el aprobado. Tiene sentido: cada fallo resta medio punto y obliga a acertar más preguntas, de modo que la estrategia que más preguntas deja sin contestar es no arriesgar en ninguna.