Examen de Matemáticas CCSS de Comunidad Valenciana 2025 (convocatoria ordinaria)

$\mathbf{\text{Problema}}\mathbf{\text{1.}}\mathbf{\text{A.}}$

Una empresa fabrica lotes de tres productos: $P1$, $P2$ y $P3$. La empresa tiene dos plantas de fabricación: $A$ y $B$. En un día de funcionamiento, la planta $A$ fabrica $1$ lote del producto $P1$, $2$ lotes del $P2$ y $1$ lote del $P3$, mientras que la planta $B$ fabrica $1$ lote del producto $P1$, $1$ del $P2$ y $5$ del $P3$. Cada día de funcionamiento de la planta $A$ cuesta $60$ miles de euros y cada día de funcionamiento de la planta $B$ cuesta $75$ miles de euros. En los próximos días la empresa tiene que producir al menos $6$ lotes del producto $P1$, al menos $8$ lotes del producto $P2$ y al menos $10$ lotes del producto $P3$.

a) ¿Cuántos días ha de funcionar cada planta para que el coste de producción sea mínimo? $(3\text{ puntos})$
b) ¿Cuál es dicho coste mínimo? $(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

$\mathbf{\text{Problema}}\mathbf{\text{1.}}\mathbf{\text{B.}}$

A un espectáculo circense acuden $500$ espectadores, y la recaudación del importe de las entradas asciende a $2.115$ euros. Los menores de $5$ años pagan el $20\mathrm{\%}$ de la entrada, y los que tienen entre $5$ y $16$ años el $50\mathrm{\%}$. Calcula cuántos espectadores han pagado el importe total de la entrada, que vale $9$ euros, cuántos han pagado el $20\mathrm{\%}$ de la entrada y cuántos el $50\mathrm{\%}$, sabiendo que el número de espectadores que han pagado el $20\mathrm{\%}$ es el doble del número de espectadores que han pagado la entrada completa.

(Planteamiento correcto 1,5 puntos --- Resolución correcta 2 puntos)

$\mathbf{\text{Problema}}\mathbf{\text{2.}}\mathbf{\text{A.}}$

Se considera la función:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1+x^2}{1+x}}& \text{si }0\le x<4\\ 2x+4& \text{si }4\le x<8\\ 3x+60-x^2& \text{si }8\le x\le 9\end{array}$

Se pide:

a) Estudiar la continuidad de la función en el intervalo $[0,9]$. $(\mathrm{0,75}\text{ puntos})$
b) Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función en el intervalo $[0,9]$. $(\mathrm{1,5}\text{ puntos})$
c) Calcular los puntos donde la función alcanza el máximo y el mínimo, y cuánto vale la función en esos puntos. $(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$
d) Calcular el área de la región delimitada por esta función, el eje $OX$, la recta de ecuación $x=8$ y la recta de ecuación $x=9$. $(\mathrm{0,75}\text{ puntos})$

$\mathbf{\text{Problema}}\mathbf{\text{2.}}\mathbf{\text{B.}}$

Se considera la función:

$f(x)={\displaystyle \frac{4x^2-36}{x^2-2x-8}}$

Se pide:

a) Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados. $(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$
b) Las asíntotas horizontales y verticales, si existen. $(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos locales, si existen. $(2\text{ puntos})$
d) La representación gráfica de la función a partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores. $(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

$\mathbf{\text{Problema}}\mathbf{\text{3.}}$

En un país se sabe que un $35\mathrm{\%}$ de personas vive en municipios pequeños ($10000$ habitantes o menos), un $25\mathrm{\%}$ de personas vive en municipios medianos (entre $10001$ y $50000$ habitantes) y un $40\mathrm{\%}$ de personas vive en municipios grandes (más de $50000$ habitantes). Entre las personas que viven en municipios pequeños, un $20\mathrm{\%}$ se graduó en la universidad; entre las que viven en municipios medianos, un $30\mathrm{\%}$ se graduó en la universidad; y entre las que viven en municipios grandes, un $60\mathrm{\%}$ se graduó en la universidad. Seleccionamos al azar una persona de este país.

a) Calcula la probabilidad de que la persona seleccionada se haya graduado en la universidad. $(1\text{ punto})$
b) Si sabemos que la persona seleccionada se graduó en la universidad, ¿cuál es la probabilidad de que viva en un municipio con más de $10000$ habitantes? $(1\text{ punto})$
c) Calcula la probabilidad de la intersección de los sucesos "la persona seleccionada vive en un municipio con $50000$ habitantes o menos" y "la persona seleccionada se graduó en la universidad o vive en un municipio con más de $10000$ habitantes". $(1\text{ punto})$