Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

$\mathbf{\text{Problema}}\mathbf{\text{3.}}$

En un país se sabe que un $35\mathrm{\%}$ de personas vive en municipios pequeños ($10000$ habitantes o menos), un $25\mathrm{\%}$ de personas vive en municipios medianos (entre $10001$ y $50000$ habitantes) y un $40\mathrm{\%}$ de personas vive en municipios grandes (más de $50000$ habitantes). Entre las personas que viven en municipios pequeños, un $20\mathrm{\%}$ se graduó en la universidad; entre las que viven en municipios medianos, un $30\mathrm{\%}$ se graduó en la universidad; y entre las que viven en municipios grandes, un $60\mathrm{\%}$ se graduó en la universidad. Seleccionamos al azar una persona de este país.

a) Calcula la probabilidad de que la persona seleccionada se haya graduado en la universidad. $(1\text{ punto})$
b) Si sabemos que la persona seleccionada se graduó en la universidad, ¿cuál es la probabilidad de que viva en un municipio con más de $10000$ habitantes? $(1\text{ punto})$
c) Calcula la probabilidad de la intersección de los sucesos "la persona seleccionada vive en un municipio con $50000$ habitantes o menos" y "la persona seleccionada se graduó en la universidad o vive en un municipio con más de $10000$ habitantes". $(1\text{ punto})$

Sean los sucesos:

$\{\begin{array}{l}P=\text{Vivir en un municipio peque}\tilde{\text{n}}\text{o}\\ M=\text{Vivir en un municipio mediano}\\ G=\text{Vivir en un municipio grande}\\ U=\text{Ser graduado universitario}\end{array}$





$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{seleccionada}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{graduado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{universidad.}}(1\text{ punto})$

Por el teorema de la probabilidad total:

$P(U)=P(P\cap U)+P(M\cap U)+P(G\cap U)$

$P(U)=\mathrm{0,35}\cdot \mathrm{0,2}+\mathrm{0,25}\cdot \mathrm{0,3}+\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,6}$

$P(U)=\mathrm{0,385}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{sabemos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{seleccionada}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{gradu}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{universidad,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{viva}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{municipio}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">10</mn><mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mn\; mathvariant="bold">000</mn></mrow>}\mathbf{\text{habitantes?}}(1\text{ punto})$

Se nos pide:

$P(\bar{P}\mid U)$

y por el teorema de Bayes:

$P(\bar{P}\mid U)={\displaystyle \frac{P(\bar{P}\cap U)}{P(U)}}={\displaystyle \frac{P(M\cap U)+P(G\cap U)}{P(U)}}$

$P(\bar{P}\mid U)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,25}\cdot \mathrm{0,3}+\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,6}}{\mathrm{0,385}}}\simeq \mathrm{0,818}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{intersecci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{sucesos}}\mathbf{\text{"la}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{seleccionada}}\mathbf{\text{vive}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{municipio}}\mathbf{\text{con}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">50</mn><mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mn\; mathvariant="bold">000</mn></mrow>}\mathbf{\text{habitantes}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{menos"}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{"la}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{seleccionada}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{gradu}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{universidad}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{vive}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{municipio}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">10</mn><mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mn\; mathvariant="bold">000</mn></mrow>}\mathbf{\text{habitantes".}}(1\text{ punto})$

$P(\bar{G}\cap (U\cup \bar{P}))=P(\bar{G})-P(P\cap \bar{U})$

$P(\bar{G}\cap (U\cup \bar{P}))=P(P)+P(M)-P(P\cap \bar{U})$

$P(\bar{G}\cap (U\cup \bar{P}))=\mathrm{0,35}+\mathrm{0,25}-\mathrm{0,35}\cdot \mathrm{0,8}=\mathrm{0,32}$