Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

Cuestión 7. En una ferretería se encuentran mezclados $100$ tornillos de color azul, $60$ de color blanco y $40$ de color rojo. La probabilidad de que un tornillo sea defectuoso es de $\mathrm{0,01}$ si es azul, $\mathrm{0,02}$ si es blanco y de $\mathrm{0,03}$ si es rojo. Un comprador elige un tornillo al azar:
a) Calcule la probabilidad de que el tornillo sea defectuoso. (1 punto)
b) Sabiendo que el tornillo es defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad de que sea blanco? (1 punto)

Llamamos $A$, $B$ y $R$ a los sucesos «el tornillo es azul, blanco o rojo» y $D$ al suceso «el tornillo es defectuoso». En total hay $100+60+40=200$ tornillos, de modo que las probabilidades de partida son proporciones sobre ese total.

$P(A)={\displaystyle \frac{100}{200}}=\mathrm{0,5};P(B)={\displaystyle \frac{60}{200}}=\mathrm{0,3};P(R)={\displaystyle \frac{40}{200}}=\mathrm{0,2}$



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tornillo}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{defectuoso.}}(1\text{ punto})$

Los tres colores forman un sistema completo de sucesos, así que se aplica el teorema de la probabilidad total.

$P(D)=P(A)P(D\mid A)+P(B)P(D\mid B)+P(R)P(D\mid R)$

$P(D)=\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,01}+\mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,02}+\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{0,03}=\mathrm{0,005}+\mathrm{0,006}+\mathrm{0,006}=\mathrm{0,017}$

La probabilidad de que el tornillo elegido sea defectuoso es $\mathrm{0,017}$, esto es, un $\mathrm{1,7}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tornillo}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{defectuoso,}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{blanco?}}(1\text{ punto})$

Es una probabilidad a posteriori: se aplica el teorema de Bayes con el valor de $P(D)$ ya calculado.

$P(B\mid D)={\displaystyle \frac{P(B)P(D\mid B)}{P(D)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,006}}{\mathrm{0,017}}}={\displaystyle \frac{6}{17}}\approx \mathrm{0,3529}$

Entre los tornillos defectuosos, la probabilidad de que sea blanco es ${\displaystyle \frac{6}{17}}\approx \mathrm{0,3529}$.