Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

Cuestión 7. (2 puntos) Entre los alumnos ERASMUS que han llegado este curso a la Universidad de Murcia el 75\% hablan inglés, el 50\% hablan francés y un 5\% no hablan ninguno de estos dos idiomas. Elegido un alumno al azar:
a) Calcule la probabilidad de que hable inglés o francés. (0,5 puntos).
b) Calcule la probabilidad de que hable inglés y francés. (0,5 puntos).
c) Calcule la probabilidad de que hablen inglés, pero no francés. (1 punto).

Llamamos $I$ al suceso «el alumno habla inglés» y $F$ al suceso «el alumno habla francés». Los datos del enunciado son $P(I)=\mathrm{0,75}$, $P(F)=\mathrm{0,5}$ y que el $5\mathrm{\%}$ no habla ninguno de los dos, que es el contrario de la unión.

$P(\overline{I\cup F})=\mathrm{0,05}$



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hable}}\mathbf{\text{ingl}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{franc}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

Se pasa al suceso contrario, que es justo el dato del enunciado.

$P(I\cup F)=1-P(\overline{I\cup F})=1-\mathrm{0,05}=\mathrm{0,95}$

La probabilidad de que hable inglés o francés es $\mathrm{0,95}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hable}}\mathbf{\text{ingl}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{franc}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

Se despeja la intersección en la fórmula de la probabilidad de la unión.

$P(I\cap F)=P(I)+P(F)-P(I\cup F)$

$P(I\cap F)=\mathrm{0,75}+\mathrm{0,5}-\mathrm{0,95}=\mathrm{0,3}$

La probabilidad de que hable los dos idiomas es $\mathrm{0,3}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hablen}}\mathbf{\text{ingl}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s,}}\mathbf{\text{pero}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{franc}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s.}}(1\text{ punto})$

El suceso «hablar inglés» se descompone en dos partes incompatibles: hablar también francés o no hablarlo.

$P(I\cap \bar{F})=P(I)-P(I\cap F)$

$P(I\cap \bar{F})=\mathrm{0,75}-\mathrm{0,3}=\mathrm{0,45}$

La probabilidad de que hable inglés pero no francés es $\mathrm{0,45}$.