Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

Cuestión 8. (2,5 puntos) Dado dos sucesos de un experimento aleatorio $A$ y $B$ tales que $P(\bar{A})=\mathrm{0,45}$, $P(\bar{B})=\mathrm{0,35}$ y $P(A\cup B)=\mathrm{0,7}$. Calcular las siguientes probabilidades:
a) $P(A)$. (0,5 puntos)
b) $P(A\cap B)$. (1 punto)
c) $P(B\mid A)$ (0,5 puntos)
d) $P(\bar{A}\mid \bar{B})$. (0,5 puntos)

Se aplica la probabilidad del suceso contrario.

$P(A)=1-P(\bar{A})=1-\mathrm{0,45}=\mathrm{0,55}$

La probabilidad del suceso $A$ es $\mathrm{0,55}$.



Se despeja la intersección en la fórmula de la probabilidad de la unión, con $P(B)=1-\mathrm{0,35}=\mathrm{0,65}$.

$P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)$

$P(A\cap B)=\mathrm{0,55}+\mathrm{0,65}-\mathrm{0,7}=\mathrm{0,5}$

La probabilidad de la intersección es $\mathrm{0,5}$.



Se aplica la definición de probabilidad condicionada.

$P(B\mid A)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}}{\mathrm{0,55}}}={\displaystyle \frac{10}{11}}\approx \mathrm{0,9091}$

Sabiendo que ha ocurrido $A$, la probabilidad de que ocurra $B$ es ${\displaystyle \frac{10}{11}}\approx \mathrm{0,9091}$.



Por las leyes de De Morgan, el numerador es el contrario de la unión.

$P(\bar{A}\cap \bar{B})=1-P(A\cup B)=1-\mathrm{0,7}=\mathrm{0,3}$

$P(\bar{A}\mid \bar{B})={\displaystyle \frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,35}}}={\displaystyle \frac{6}{7}}\approx \mathrm{0,8571}$

Sabiendo que no ha ocurrido $B$, la probabilidad de que tampoco ocurra $A$ es ${\displaystyle \frac{6}{7}}\approx \mathrm{0,8571}$.