Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

Cuestión 8. (2,5 puntos)

a) En un edificio hay dos ascensores A y B. El 45% de los inquilinos del edificio usa el primero (A) y los restantes el segundo (B). El porcentaje de averías del ascensor A es del 5%, mientras que el segundo se avería un 8% de las veces que se utiliza. Cada vez que un ascensor sufre una avería, éste se atasca y se para y no funciona.

i. Calcular la probabilidad de que un ascensor, elegido al azar, se averíe. (0,75 puntos)

ii. Sabiendo que se ha producido una avería en el ascensor, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido en el segundo? (0,75 puntos)

b) La duración de los contratos temporales sigue una distribución normal de media desconocida y una desviación típica de 3 meses. Una muestra aleatoria de 100 contratos temporales ha dado una duración media de 16 meses. Obtener un intervalo de confianza al 94% para la duración media de los contratos temporales. (1 punto)

Llamamos $A$ y $B$ a los sucesos «usar el ascensor A» y «usar el ascensor B», y $V$ al suceso «el ascensor se avería». Los datos del enunciado se organizan en un diagrama de árbol.



$\mathbf{\text{i.}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{ascensor,}}\mathbf{\text{elegido}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{aver}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{e.}}(\mathrm{0,75}\text{ puntos})$

Los sucesos $A$ y $B$ forman un sistema completo, así que se aplica el teorema de la probabilidad total.

$P(V)=P(A)P(V\mid A)+P(B)P(V\mid B)$

$P(V)=\mathrm{0,45}\cdot \mathrm{0,05}+\mathrm{0,55}\cdot \mathrm{0,08}=\mathrm{0,0225}+\mathrm{0,044}=\mathrm{0,0665}$

La probabilidad de que un ascensor elegido al azar se averíe es $\mathrm{0,0665}$, es decir, un $\mathrm{6,65}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{ii.}}\mathbf{\text{Sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{producido}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{aver}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{ascensor,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{segundo?}}(\mathrm{0,75}\text{ puntos})$

Es una probabilidad a posteriori: se aplica el teorema de Bayes con el valor de $P(V)$ ya calculado.

$P(B\mid V)={\displaystyle \frac{P(B)P(V\mid B)}{P(V)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,55}\cdot \mathrm{0,08}}{\mathrm{0,0665}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,044}}{\mathrm{0,0665}}}$

$P(B\mid V)\approx \mathrm{0,6617}$

Si se ha producido una avería, la probabilidad de que haya sido en el segundo ascensor es $\mathrm{0,6617}$.



El intervalo de confianza para la media con $\sigma$ conocida es

$IC(\mu )=(\bar{x}-z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}},\bar{x}+z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$

Se busca el valor crítico correspondiente al nivel de confianza pedido.

$1-\alpha =\mathrm{0,94}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,03}\Rightarrow P(Z\le z_{\alpha \mathrm{/}2})=\mathrm{0,97}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,88}$

$E=\mathrm{1,88}\cdot {\displaystyle \frac{3}{\sqrt{100}}}=\mathrm{1,88}\cdot \mathrm{0,3}=\mathrm{0,564}$

$IC(\mu )=(16-\mathrm{0,564},16+\mathrm{0,564})=(\mathrm{15,436};\mathrm{16,564})$

Con un $94\mathrm{\%}$ de confianza, la duración media de los contratos temporales está entre $\mathrm{15,436}$ y $\mathrm{16,564}$ meses.