Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

Problema 6.

Un profesor evalúa a sus estudiantes a través de un trabajo final. El profesor sabe por experiencia que el 5% de los trabajos no son originales, sino que son plagios. El profesor dispone de un programa informático para detectar plagios. La probabilidad de que el programa no clasifique correctamente un trabajo plagiado es 0,04 y la probabilidad de que clasifique como plagio un trabajo original es 0,02.

a) Calcula la probabilidad de que un trabajo final, elegido al azar, sea clasificado como plagio por el programa informático. (3 puntos)
b) Un trabajo es inspeccionado por el programa informático y es clasificado como original. ¿Cuál es la probabilidad de que dicho trabajo sea un plagio? (4 puntos)
c) ¿Qué porcentaje de trabajos finales son plagios y a la vez son clasificados como tales por el programa? (3 puntos)

$\mathbf{\text{Problema}}\mathbf{\text{6.}}\mathbf{\text{Un}}\mathbf{\text{profesor}}\mathbf{\text{eval}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{estudiantes}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{trav}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{final.}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{profesor}}\mathbf{\text{sabe}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{experiencia}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{5\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{trabajos}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{originales,}}\mathbf{\text{sino}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{plagios.}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{profesor}}\mathbf{\text{dispone}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{programa}}\mathbf{\text{inform}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tico}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{detectar}}\mathbf{\text{plagios.}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{programa}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{clasifique}}\mathbf{\text{correctamente}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{plagiado}}\mathbf{\text{es}}\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">0,04</mn>}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{clasifique}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{plagio}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{original}}\mathbf{\text{es}}\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">0,02</mn>}\mathbf{\text{.}}$


Realizamos un diagrama de árbol.


$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{final,}}\mathbf{\text{elegido}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{clasificado}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{plagio}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{programa}}\mathbf{\text{inform}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tico.}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Aparece esta posibilidad en dos ramas; multiplicamos en horizontal y sumamos en vertical.

$P(\text{el programa clasifica el trabajo como plagio})=\mathrm{0,95}\cdot \mathrm{0,02}+\mathrm{0,05}\cdot \mathrm{0,96}=\mathrm{0,067}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Un}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{inspeccionado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{programa}}\mathbf{\text{inform}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tico}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{clasificado}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{original.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{plagio?}}\mathbf{\text{(4}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Es una probabilidad a posteriori. Aplicamos el teorema de Bayes.

$P(\text{sea un plagio / el programa lo clasifica como original})={\displaystyle \frac{P(\text{sea un plagio}\cap \text{programa dice original})}{P(\text{programa dice original})}}$

$={\displaystyle \frac{\mathrm{0,05}\cdot \mathrm{0,04}}{1-\mathrm{0,067}}}=\mathrm{0,0021}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{trabajos}}\mathbf{\text{finales}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{plagios}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{vez}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{clasificados}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{tales}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{programa?}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$P(\text{trabajo es plagiado y programa dice que es plagio})=\mathrm{0,05}\cdot \mathrm{0,96}=\mathrm{0,048}$

El porcentaje es del 4,8 %.