Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

Problema 6.

Una empresa fabrica protectores de pantalla para teléfonos móviles. La empresa produce tres tipos de protectores: de 4 pulgadas, de 4,7 pulgadas y de 5 pulgadas. Consideramos la población de los habitantes de una ciudad que poseen un único teléfono móvil y cuya medida es una de estas tres. Un estudio de mercado indica que el 30% de los teléfonos móviles tienen una pantalla de 4 pulgadas. Este mismo estudio también indica que el 30% de los usuarios de un teléfono móvil de una pantalla de 4 pulgadas utilizan un protector de pantalla. Este también es el caso del 25% de los que poseen un teléfono móvil con pantalla de 4,7 pulgadas y del 40% de los que poseen un teléfono móvil con una pantalla de 5 pulgadas.

a) Si el 34% de los que tienen un teléfono móvil usan un protector de pantalla, calcula el porcentaje de los que usan un teléfono móvil de 4,7 pulgadas y el porcentaje de los que usan un teléfono móvil de 5 pulgadas. (4 puntos)
b) Se considera un usuario de teléfono móvil con protector de pantalla. Calcula la probabilidad de que utilice un teléfono móvil con una pantalla de 5 pulgadas. (3 puntos)
c) Consideramos ahora una persona que tiene un teléfono móvil con protector de pantalla y cuya pantalla no es de 4,7 pulgadas. Calcula la probabilidad de que use un teléfono móvil con una pantalla de 5 pulgadas. (3 puntos)

Llamamos $p$ a la probabilidad de que al elegir a una persona use un teléfono de 5 pulgadas. (Ese valor es el porcentaje expresado en tanto por uno).
La probabilidad de elegir a alguien con un teléfono de 4,7 pulgadas es: $1-\mathrm{0,3}-p=\mathrm{0,7}-p$.

Hacemos un diagrama de árbol.


Llamemos $A$ = Usar pantalla de 4 pulgadas,
$B$ = Usar pantalla de 4,7 pulgadas y
$C$ = Usar pantalla de 5 pulgadas.
$Pr$ = Usar protector de pantalla,
$\overline{Pr}$ = No usar protector de pantalla.

$P(Pr)=\mathrm{0,34}\Rightarrow P(A)P(Pr\mathrm{/}A)+P(B)P(Pr\mathrm{/}B)+P(C)P(Pr\mathrm{/}C)=\mathrm{0,34}$

$\Rightarrow \mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,3}+(\mathrm{0,7}-p)\cdot \mathrm{0,25}+p\cdot \mathrm{0,4}=\mathrm{0,34}$$\Rightarrow \mathrm{0,09}+\mathrm{0,175}-\mathrm{0,25}p+\mathrm{0,4}p=\mathrm{0,34}$$\Rightarrow \mathrm{0,15}p=\mathrm{0,075}\Rightarrow p=\frac{\mathrm{0,075}}{\mathrm{0,15}}=\mathrm{0,5}$

Hay un 50 % de las personas que tienen pantalla de 5 pulgadas y el restante 20 % usan pantallas de 4,7 pulgadas.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{considera}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{usuario}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tel}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{fono}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{vil}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{protector}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{pantalla.}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{utilice}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{tel}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{fono}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{vil}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{pantalla}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{5}\mathbf{\text{pulgadas.}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$
El diagrama de árbol queda:


Es una probabilidad a posteriori. Utilizamos el teorema de Bayes. $P(C\mathrm{/}Pr)=\frac{P(C),P(Pr\mathrm{/}C)}{P(Pr)}=\frac{\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,4}}{\mathrm{0,34}}=\frac{10}{17}\approx \mathrm{0,59}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Consideramos}}\mathbf{\text{ahora}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{tel}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{fono}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{vil}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{protector}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{pantalla}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cuya}}\mathbf{\text{pantalla}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">4</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">7</mn></mrow>}\mathbf{\text{pulgadas.}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{use}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{tel}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{fono}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{vil}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{pantalla}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{5}\mathbf{\text{pulgadas.}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$
Rehacemos el diagrama de árbol (Pr) considerando que hay 30 personas con móvil de 4,7 pulgadas.
Si consideramos 80 personas, esas son móviles de 4 pulgadas y serán un total de 80 personas.
La probabilidad de A pasa a ser $30\mathrm{/}80$ y la de B pasa a ser $50\mathrm{/}80$.


Nos piden calcular $P(C\mathrm{/}Pr)\Rightarrow P(C\mathrm{/}Pr)=\frac{P(C\cap Pr)}{P(Pr)}=\frac{P(C)P(Pr\mathrm{/}C)}{P(A)P(Pr\mathrm{/}A)+P(C)P(Pr\mathrm{/}C)}$ $=\frac{\frac{5}{8}\cdot \mathrm{0,4}}{\frac{3}{8}\cdot \mathrm{0,3}+\frac{5}{8}\cdot \mathrm{0,4}}=\frac{20}{29}\approx \mathrm{0,69}$