Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

Problema 6.

En un juego se lanzan dos monedas equilibradas y un dado de seis caras equilibrado. Un jugador gana si obtiene dos caras y un número par en el dado, o bien, si obtiene exactamente una cara y un número mayor o igual que cinco en el dado.
a) Calcula la probabilidad de que el jugador gane. (2,5 puntos)
b) Si se sabe que ha ganado, ¿cuál es la probabilidad de que obtuviera dos caras al lanzar las monedas? (2,5 puntos)
c) Si se sabe que ha ganado, ¿cuál es la probabilidad de que obtuviera un cinco al lanzar el dado? (2,5 puntos)
d) Llamemos A al suceso “el jugador no gana” y llamemos B al suceso “el jugador obtiene un seis al lanzar el dado”. ¿Son independientes los sucesos A y B? (2,5 puntos)

$\mathbf{\text{Problema}}\mathbf{\text{6.}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{juego}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{lanzan}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{monedas}}\mathbf{\text{equilibradas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{dado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{seis}}\mathbf{\text{caras}}\mathbf{\text{equilibrado.}}\mathbf{\text{Un}}\mathbf{\text{jugador}}\mathbf{\text{gana}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{obtiene}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{caras}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{par}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{dado,}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{bien,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{obtiene}}\mathbf{\text{exactamente}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{cara}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{cinco}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{dado.}}$
Los sucesos lanzar moneda o dado son independientes → $P(\text{cara, cara, 2})=P(\text{cara})\cdot P(\text{cara})\cdot P(2)$
$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{jugador}}\mathbf{\text{gane.}}\mathbf{\text{(2,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$P(\text{Ganar})=P(\text{Cara})\cdot P(\text{Cara})\cdot P(\text{Par})+P(\text{Cara})\cdot P(\text{Cruz})\cdot P(5\text{ o }6)+P(\text{Cruz})\cdot P(\text{Cara})\cdot P(5\text{ o }6)$

$=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{6}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{6}=\frac{7}{24}\approx 0.2917$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{sabe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{ganado,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{obtuviera}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{caras}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{lanzar}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{monedas?}}\mathbf{\text{(2,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$P(\text{Sacar dos caras / Ha ganado})=\frac{P(\text{Gana sacando dos caras})}{P(\text{Gana})}=\frac{P(\text{Cara})P(\text{Cara})P(\text{Par})}{7\mathrm{/}24}=\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}{7\mathrm{/}24}=\frac{3}{7}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{sabe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{ganado,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{obtuviera}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{cinco}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{lanzar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{dado?}}\mathbf{\text{(2,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$P(\text{Sacar un 5 / Ha ganado})=\frac{P(\text{Gana sacando un 5})}{P(\text{Gana})}=\frac{P(\text{Cruz})P(\text{Cara})P(5)+P(\text{Cara})P(\text{Cruz})P(5)}{7\mathrm{/}24}=\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}}{7\mathrm{/}24}=\frac{2\mathrm{/}24}{7\mathrm{/}24}=\frac{2}{7}$

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Llamemos}}\mathit{A}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{suceso}}\mathbf{\text{“el}}\mathbf{\text{jugador}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{gana”}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{llamemos}}\mathit{B}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{suceso}}\mathbf{\text{“el}}\mathbf{\text{jugador}}\mathbf{\text{obtiene}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{seis}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{lanzar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{dado”.}}\mathbf{\text{¿Son}}\mathbf{\text{independientes}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{sucesos}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{(2,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$P(A)=P(\text{no ganar})=1-\frac{7}{24}=\frac{17}{24}$

$P(\text{ganar}\cap \text{seis})=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}+2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}=\frac{3}{24}\Rightarrow P(A\cap B)=P(\text{seis})-P(\text{ganar}\cap \text{seis})=\frac{4}{24}-\frac{3}{24}=\frac{1}{24}$

$P(A\mid B)=P(\text{no ganar}\mid \text{seis})=\frac{1\mathrm{/}24}{4\mathrm{/}24}=\frac{1}{4}$

Como: $P(A)\mathrm{\ne }P(A\mid B)\Rightarrow A\text{ y }B\text{ no son independientes}$