Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Problema 5.

Arsenio Lupin ha descubierto que la alarma del Banco de París no se puede desconectar. No obstante, ha averiguado que la probabilidad de que la alarma suene cuando hay un motivo justificado es 0,95 y que la probabilidad de que suene injustificadamente es 0,3. El 31 de diciembre hay una probabilidad de 0,1 de que Arsenio Lupin atraque el Banco de París y se sabe que nadie más lo atracará ese día.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que Arsenio Lupin atraque el Banco de París ese día y que no suene la alarma? (4 puntos)
b) Si ese día suena la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que Arsenio Lupin no esté atracando el Banco de París? (3 puntos)
c) Si la alarma no ha sonado ese día, ¿cuál es la probabilidad de que Arsenio Lupin haya atracado el Banco de París? (3 puntos)

$\mathbf{\text{Problema}}\mathbf{\text{5.}}\mathbf{\text{Arsenio}}\mathbf{\text{Lupin}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{descubierto}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{alarma}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{Banco}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Par}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{desconectar.}}\mathbf{\text{No}}\mathbf{\text{obstante,}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{averiguado}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{alarma}}\mathbf{\text{suene}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{motivo}}\mathbf{\text{justificado}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{0,95}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{suene}}\mathbf{\text{injustificadamente}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{0,3.}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{31}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{diciembre}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{0,1}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{Arsenio}}\mathbf{\text{Lupin}}\mathbf{\text{atraque}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{Banco}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Par}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{sabe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{nadie}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{atracar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a.}}$

Sean los sucesos:
A = Lupin atraca el banco
B = Suena la alarma


$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{Arsenio}}\mathbf{\text{Lupin}}\mathbf{\text{atraque}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{Banco}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Par}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{suene}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{alarma?}}\mathbf{\text{(4}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$P(A\cap \bar{B})=P(A)\cdot P(\bar{B}\mid A)=0.1\cdot 0.05=0.005$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{suena}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{alarma,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{Arsenio}}\mathbf{\text{Lupin}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{atracando}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{Banco}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Par}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{s?}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$P(\bar{A}\mid B)=\frac{P(\bar{A}\cap B)}{P(B)}=\frac{0.9\cdot 0.3}{0.1\cdot 0.95+0.9\cdot 0.3}=0.7397$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{alarma}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{sonado}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{Arsenio}}\mathbf{\text{Lupin}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{atracado}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{Banco}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Par}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{s?}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$P(A\mid \bar{B})=\frac{P(A\cap \bar{B})}{P(\bar{B})}=\frac{0.1\cdot 0.05}{0.1\cdot 0.05+0.9\cdot 0.7}=0.0079$