Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

Problema 6.

Lanzamos un dado de 6 caras bien equilibrado. Si al lanzar el dado obtenemos un número mayor que 2, entonces lanzamos dos veces una moneda bien construida; pero si al lanzar el dado obtenemos un número menor o igual que 2, entonces lanzamos dos veces una moneda defectuosa en la que la probabilidad de obtener cara es tres veces mayor que la de obtener cruz.

a) Si sabemos que en los dos lanzamientos de la moneda hemos obtenido dos caras, ¿cuál es la probabilidad de que hayamos obtenido un número mayor que 2 al lanzar el dado? (3 puntos)
b) Calcula la probabilidad de la unión de los sucesos “obtener un número menor o igual que 2 al lanzar el dado” y “obtener al menos una cara en los dos lanzamientos de la moneda”. (4 puntos)
c) ¿Son independientes los sucesos “obtener un 6 al lanzar el dado” y “obtener dos cruces en los dos lanzamientos de la moneda”? (3 puntos)

Planteamos el árbol.












$A\equiv$ sacar un número mayor que 2 en el dado.
$B\equiv$sacar un número menor o igual que 2 en el dado.
(Usamos C = cara y X = cruz.)






$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{sabemos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{lanzamientos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{moneda}}\mathbf{\text{hemos}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{caras,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hayamos}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{lanzar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{dado?}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$P(A\mid C\cap C)=\frac{P(A\cap C\cap C)}{P\text{\hspace{0.17em}⁣}(C\cap C)}=\frac{\frac{4}{6}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}{\frac{4}{6}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{2}{6}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}}=\frac{8}{17}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{uni}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{sucesos}}\mathbf{\text{“obtener}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{lanzar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{dado”}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{“obtener}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{cara}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{lanzamientos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{moneda”.}}\mathbf{\text{(4}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$D\equiv$ Obtener al menos una cara.

$P(B\cup D)=1-P(A\cap X\cap X)=1-\frac{4}{6}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{6}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Son}}\mathbf{\text{independientes}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{sucesos}}\mathbf{\text{“obtener}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{6}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{lanzar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{dado”}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{“obtener}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{cruces}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{lanzamientos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{moneda”?}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$P(6)=\frac{1}{6}$

$P(6\mid (x\cap x))=\frac{P(6\cap (x\cap x))}{P(x\cap x)}=\frac{\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}{\frac{4}{6}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{2}{6}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}}=\frac{2}{9}$

Como $P(6)\mathrm{\ne }P(6\mid X\cap X),$ no son independientes.