Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

A.5. ( 2 puntos)

La publicidad de una marca de bolígrafos afirma que escriben 2 km. Para realizar un control de calidad, se considera que la longitud de escritura de estos bolígrafos puede aproximarse por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ y desviación típica 0,5 km.

a) Obtenga el número mínimo de bolígrafos que deberían seleccionarse en una muestra aleatoria simple para que el error máximo cometido en la estimación de $\mu$ por la media muestral, sea como mucho 0,05 km con un nivel de confianza del 95,44 %.
b) Si la longitud media de escritura, $\mu$ es la anunciada en la publicidad, calcule la probabilidad de que, con una muestra de 16 bolígrafos elegidos al azar, se pueda escribir más de 30 km.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{bol}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{grafos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{deber}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{seleccionarse}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{aleatoria}}\mathbf{\text{simple}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{cometido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{estimaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathit{\mu }\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{muestral,}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{mucho}}\mathbf{\text{0,05}}\mathbf{\text{km}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{95,44}}\mathbf{\text{\%.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Al ser la población normal, la media muestral sigue una distribución $\bar{X}\sim N(\mu ,{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$ y el error máximo admisible con un nivel de confianza $1-\alpha$ es $E=z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$. Empezamos buscando en la tabla el valor crítico.

$1-\alpha =\mathrm{0,9544}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,0228}\Rightarrow \mathrm{\Phi }(z_{\alpha \mathrm{/}2})=1-\mathrm{0,0228}=\mathrm{0,9772}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=2$

Imponemos que el error no supere los $\mathrm{0,05}$ km y despejamos el tamaño de la muestra.

$2\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}}{\sqrt{n}}}\le \mathrm{0,05}\Rightarrow \sqrt{n}\ge {\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{0,5}}{\mathrm{0,05}}}=20\Rightarrow n\ge 400$

Deben seleccionarse como mínimo 400 bolígrafos.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{escritura,}}\mathit{\mu }\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{anunciada}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{publicidad,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{16}}\mathbf{\text{bol}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{grafos}}\mathbf{\text{elegidos}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{pueda}}\mathbf{\text{escribir}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{30}}\mathbf{\text{km.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Que 16 bolígrafos escriban más de 30 km en total equivale a que su media muestral supere $30\mathrm{/}16=\mathrm{1,875}$ km. Con $\mu =2$ km la media muestral se distribuye así:

$\bar{X}\sim N(2,{\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}}{\sqrt{16}}})=N(2;\mathrm{0,125})$

Tipificamos y acudimos a la tabla de la normal estándar, usando la simetría de la campana.

$P(\bar{X}>\mathrm{1,875})=P(Z>{\displaystyle \frac{\mathrm{1,875}-2}{\mathrm{0,125}}})=P(Z>-1)$

$P(Z>-1)=P(Z<1)=\mathrm{0,8413}$

La probabilidad de que una muestra de 16 bolígrafos permita escribir más de 30 km es $\mathrm{0,8413}$.