Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

B 4. (Calificación máxima: 2 puntos)

Un colegio tiene alumnos matriculados que residen en dos municipios distintos, A y B, siendo el número de alumnos matriculados residentes en el municipio A el doble de los del municipio B. Se sabe que la probabilidad de fracaso escolar si se habita en el municipio A es de 0,02, mientras que esa probabilidad si se habita en el municipio B es de 0,06. Calcule la probabilidad de que un alumno de dicho colegio elegido al azar:

a) No sufra fracaso escolar.
b) Sea del municipio A si se sabe que ha sufrido fracaso escolar.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{No}}\mathbf{\text{sufra}}\mathbf{\text{fracaso}}\mathbf{\text{escolar.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Llamamos $A$ y $B$ a los sucesos «el alumno reside en el municipio A o en el B», que forman un sistema completo, y $F$ a «sufre fracaso escolar». Como los de A son el doble que los de B, de cada tres alumnos dos son de A.

$P(A)={\displaystyle \frac{2}{3}},P(B)={\displaystyle \frac{1}{3}}$

$P(F\mathrm{/}A)=\mathrm{0,02},P(F\mathrm{/}B)=\mathrm{0,06}$

Organizamos toda la información en un diagrama de árbol.



Aplicamos el teorema de la probabilidad total.

$P(\bar{F})=P(A)P(\bar{F}\mathrm{/}A)+P(B)P(\bar{F}\mathrm{/}B)={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot \mathrm{0,98}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \mathrm{0,94}$

$P(\bar{F})={\displaystyle \frac{\mathrm{1,96}+\mathrm{0,94}}{3}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,9}}{3}}\approx \mathrm{0,9667}$

La probabilidad de que un alumno elegido al azar no sufra fracaso escolar es de $\mathrm{0,9667}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Sea}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{municipio}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{sabe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{sufrido}}\mathbf{\text{fracaso}}\mathbf{\text{escolar.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Se conoce el efecto y se pregunta por la causa, así que utilizamos el teorema de Bayes. La probabilidad de fracaso es la contraria de la anterior.

$P(F)=1-{\displaystyle \frac{\mathrm{2,9}}{3}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,1}}{3}}={\displaystyle \frac{1}{30}}$

$P(A\cap F)=P(A)P(F\mathrm{/}A)={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot \mathrm{0,02}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,04}}{3}}$

$P(A\mathrm{/}F)={\displaystyle \frac{P(A\cap F)}{P(F)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,04}\mathrm{/}3}{\mathrm{0,1}\mathrm{/}3}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,04}}{\mathrm{0,1}}}$

$P(A\mathrm{/}F)=\mathrm{0,4}$

Entre los alumnos con fracaso escolar, el 40 % reside en el municipio A, pese a ser dos de cada tres alumnos del colegio.