Examen de Matemáticas CCSS de Comunidad de Madrid 2021 (convocatoria extraordinaria)

A 1. (Calificación máxima: 2 puntos)

Se consideran las matrices

$A=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ -1& 2& 0\\ 0& -a& -1\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -1\end{array}\right)$.

a) Calcule los valores del parámetro real $a$ para los cuales la matriz $A$ tiene inversa.
b) Para $a=2$ calcule, si existe, la matriz $X$ que satisface $AX=B$.

A 2. (Calificación máxima: 2 puntos).

Una empresa tecnológica se plantea la producción y lanzamiento de dos nuevos cables de fibra óptica, el modelo A2020 y el modelo B2020. El coste de producir un metro del modelo A2020 es igual a 2 euros, mientras que el coste de producir un metro del modelo B2020 es igual a 0,5 euros. Para realizar el lanzamiento comercial se necesitan al menos 6000 metros de cable, aunque del modelo B2020 no podrán fabricarse más de 5000 metros y debido al coste de producción no es posible fabricar más de 8000 metros entre los dos modelos. Además se desea fabricar una cantidad de metros del modelo B2020 mayor o igual a la de metros del modelo A2020.

a) Represente la región factible y calcule las coordenadas de sus vértices.
b) Determine el número de metros que deben producirse de cada uno de los modelos para minimizar el coste.

A 3. (Calificación máxima: 2 puntos)

Dada la función real de variable real definida por:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-x-1& \text{si }x\le 3\\ \frac{3a}{x}& \text{si }x>3\end{array}$

a) Determine el valor del parámetro real a para que la función $f(x)$ sea continua en todo su dominio. ¿Para ese valor de a es $f(x)$ derivable?
b) Para $a=1$, calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa $x=1$.

A 4. (Calificación máxima: 2 puntos)

Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio, tales que $P(A)=\mathrm{0,5},P(\bar{B})=\mathrm{0,8},P(\bar{A}\cup \bar{B})=\mathrm{0,9}$.

a) Estudie si los sucesos $A$ y $B$ son independientes.
b) Calcule $P(A\mathrm{\mid }\bar{B})$.

A 5. (Calificación máxima: 2 puntos)

El peso de los huevos producidos en una granja avícola se puede aproximar por una variable aleatoria de distribución normal de media $\mu$ gramos y desviación típica $\sigma =8$ gramos.

a) Se toma una muestra aleatoria simple de 20 huevos, obteniéndose una media muestral de 60 gramos. Determine un intervalo de confianza al 95 % para $\mu$.
b) Suponga que $\mu =59$ gramos. Calcule la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple de 10 huevos, la media muestral, $\bar{X}$, esté comprendida entre 57 y 61 gramos.

B 1. (Calificación máxima: 2 puntos)

Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real $a$:

$\{\begin{array}{l}x+2ay+z=0\\ -x-ay=1\\ -y-z=-a\end{array}$

a) Discuta el sistema en función de los valores del parámetro real $a$.
b) Resuelva el sistema para $a=3$.

B 2. (Calificación máxima: 2 puntos)

Se considera la función real de variable real

$f(x)=\frac{x^3-2x^2}{(x-1{)}^2}$

a) Calcule el dominio y las asíntotas de $f(x)$.
b) Determine sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

B 3. (Calificación máxima: 2 puntos)

Se sabe que la derivada de una función real $f(x)$ de variable real es:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+8x$

a) Determine la expresión de $f(x)$ sabiendo que $f(1)=11$.
b) Determine los máximos y mínimos locales de $f(x)$, si los hubiera.

B 4. (Calificación máxima: 2 puntos)

Un colegio tiene alumnos matriculados que residen en dos municipios distintos, A y B, siendo el número de alumnos matriculados residentes en el municipio A el doble de los del municipio B. Se sabe que la probabilidad de fracaso escolar si se habita en el municipio A es de 0,02, mientras que esa probabilidad si se habita en el municipio B es de 0,06. Calcule la probabilidad de que un alumno de dicho colegio elegido al azar:

a) No sufra fracaso escolar.
b) Sea del municipio A si se sabe que ha sufrido fracaso escolar.

B 5. (Calificación máxima: 2 puntos)

El tiempo necesario para cumplimentar un test psicotécnico se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ minutos y desviación típica $\sigma =3$ minutos.

a) Determine el tamaño mínimo que debe tener una muestra aleatoria simple para que el error máximo cometido en la estimación de $\mu$ sea menor de 1 minuto con un nivel de confianza del 95 %.
b) Suponga que $\mu =32$ minutos. Calcule la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple de tamaño $n=16$ pruebas, el tiempo medio empleado en su realización, $\bar{X}$, sea menor que 30,5 minutos.