Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

A 2. (Calificación máxima: 2 puntos).

Una empresa tecnológica se plantea la producción y lanzamiento de dos nuevos cables de fibra óptica, el modelo A2020 y el modelo B2020. El coste de producir un metro del modelo A2020 es igual a 2 euros, mientras que el coste de producir un metro del modelo B2020 es igual a 0,5 euros. Para realizar el lanzamiento comercial se necesitan al menos 6000 metros de cable, aunque del modelo B2020 no podrán fabricarse más de 5000 metros y debido al coste de producción no es posible fabricar más de 8000 metros entre los dos modelos. Además se desea fabricar una cantidad de metros del modelo B2020 mayor o igual a la de metros del modelo A2020.

a) Represente la región factible y calcule las coordenadas de sus vértices.
b) Determine el número de metros que deben producirse de cada uno de los modelos para minimizar el coste.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{coordenadas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Llamamos $x$ a los miles de metros del modelo A2020 e $y$ a los del B2020, y traducimos el enunciado a inecuaciones.

$\{\begin{array}{l}x+y\ge 6\\ y\le 5\\ x+y\le 8\\ y\ge x\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$

Los vértices salen de resolver los sistemas que forman cada dos rectas frontera consecutivas.

$\{\begin{array}{l}x+y=6\\ y=5\end{array}\Rightarrow A(1,5)$

$\{\begin{array}{l}y=5\\ x+y=8\end{array}\Rightarrow B(3,5)$

$\{\begin{array}{l}x+y=8\\ y=x\end{array}\Rightarrow D(4,4)$

$\{\begin{array}{l}y=x\\ x+y=6\end{array}\Rightarrow C(3,3)$

La región factible es el cuadrilátero de vértices $A(1,5)$, $B(3,5)$, $D(4,4)$ y $C(3,3)$.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{metros}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{deben}}\mathbf{\text{producirse}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{modelos}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{minimizar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El coste, en miles de euros, es de 2 euros por metro del modelo A2020 y 0,5 por metro del B2020.

$C(x,y)=2x+\mathrm{0,5}y$

La región es cerrada y acotada y la función es lineal, así que el mínimo se alcanza en un vértice.

$C(1,5)=2+\mathrm{2,5}=\mathrm{4,5}$

$C(3,5)=6+\mathrm{2,5}=\mathrm{8,5}$

$C(4,4)=8+2=10$

$C(3,3)=6+\mathrm{1,5}=\mathrm{7,5}$

El coste mínimo se obtiene en el vértice $A(1,5)$: hay que fabricar 1000 metros del modelo A2020 y 5000 metros del B2020, con un coste de 4500 euros.