Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

A.2. (2 puntos)

Sea $S$ la región del plano definida por

$7y-8x\le 3400,3x-8y\le 2000,11x+14y\ge 9500,x\le 1200,y\le 1000$.

a) Represente gráficamente la región $S$ y calcule las coordenadas de sus vértices.
b) Obtenga el valor mínimo de la función $f(x,y)=2x+y$ en S, indicando el punto de la región en el cual se alcanza.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathit{S}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{coordenadas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Cada restricción es un semiplano y la región $S$ es la intersección de los cinco. Los vértices salen de resolver los sistemas que forman cada dos rectas frontera consecutivas.

$\{\begin{array}{l}7y-8x=3400\\ 11x+14y=9500\end{array}\Rightarrow A(100,600)$

$\{\begin{array}{l}7y-8x=3400\\ y=1000\end{array}\Rightarrow 7000-8x=3400\Rightarrow B(450,1000)$

$\{\begin{array}{l}y=1000\\ x=1200\end{array}\Rightarrow C(1200,1000)$

$\{\begin{array}{l}x=1200\\ 3x-8y=2000\end{array}\Rightarrow 3600-8y=2000\Rightarrow D(1200,200)$

$\{\begin{array}{l}3x-8y=2000\\ 11x+14y=9500\end{array}\Rightarrow E(800,50)$

La región $S$ es el pentágono de vértices $A(100,600)$, $B(450,1000)$, $C(1200,1000)$, $D(1200,200)$ y $E(800,50)$.





La región es cerrada y acotada y la función es lineal, así que el mínimo se alcanza en un vértice. Basta evaluarla en los cinco.

$f(100,600)=200+600=800$

$f(450,1000)=900+1000=1900$

$f(1200,1000)=2400+1000=3400$

$f(1200,200)=2400+200=2600$

$f(800,50)=1600+50=1650$

El valor mínimo es 800 y se alcanza en el vértice $A(100,600)$.