Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

5. (2 puntos)

De entre todos los números reales no negativos y menores o iguales que 10 se buscan dos números tales que el doble del primero menos el segundo no pase de 10, y el triple del primero más el doble del segundo sea al menos 12. Además, se desea que su suma sea lo menor posible. ¿Cuáles son estos números? ¿Cuál es la suma mínima obtenida?

$\mathbf{\text{5.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{les}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{estos}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{meros?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{suma}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima}}\mathbf{\text{obtenida?}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Llamamos $x$ al primer número e $y$ al segundo, y traducimos el enunciado. Hay que minimizar su suma.

$S(x,y)=x+y$

Los dos son no negativos y no pasan de 10; el doble del primero menos el segundo no pasa de 10 y el triple del primero más el doble del segundo es al menos 12.

$\{\begin{array}{l}0\le x\le 10\\ 0\le y\le 10\\ 2x-y\le 10\\ 3x+2y\ge 12\end{array}$

Los vértices salen de resolver los sistemas que forman cada dos rectas frontera consecutivas.

$\{\begin{array}{l}3x+2y=12\\ y=0\end{array}\Rightarrow A(4,0)$

$\{\begin{array}{l}2x-y=10\\ y=0\end{array}\Rightarrow B(5,0)$

$\{\begin{array}{l}2x-y=10\\ x=10\end{array}\Rightarrow E(10,10)$

$\{\begin{array}{l}x=0\\ y=10\end{array}\Rightarrow D(0,10)$

$\{\begin{array}{l}3x+2y=12\\ x=0\end{array}\Rightarrow C(0,6)$



La región factible es cerrada y acotada y la función objetivo es lineal, así que el mínimo se alcanza en un vértice.

$S(4,0)=4$

$S(5,0)=5$

$S(10,10)=20$

$S(0,10)=10$

$S(0,6)=6$

Los números buscados son el 4 y el 0, y la suma mínima obtenida es 4.