Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

2, En un almacén hay lavadoras y frigoríficos. Por necesidades del mercado el número de frigoríficos debe ser mayor o igual que el de lavadoras, pero no puede superar el doble del de lavadoras. Se necesitan al menos 20 frigoríficos y no hay más de 30 lavadoras disponibles para tener en el almacén. Por cada lavadora se obtiene un beneficio de 200 euros y por cada frigorífico se obtiene un beneficio de 250 euros.\n a) [1,75 puntos] ¿Cuántos electrodomésticos de cada tipo se pueden tener en el almacén para cumplir todos los requisitos anteriores? Plantea el problema y represéntalo gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Se podrían tener 20 lavadoras y 50 frigoríficos?\n b) [0,75 puntos] ¿Cuántos electrodomésticos de cada tipo habría que tener para maximizar el beneficio al vender todo lo del almacén? ¿y para minimizar el número de lavadoras?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{electrodom}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{sticos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{pueden}}\mathbf{\text{tener}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{almac}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{cumplir}}\mathbf{\text{todos}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{requisitos}}\mathbf{\text{anteriores?}}\mathbf{\text{Plantea}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{representa}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{conjunto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{soluciones.}}\mathbf{\text{¿Se}}\mathbf{\text{podr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{tener}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{lavadoras}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{50}}\mathbf{\text{frigor}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ficos?}}\mathbf{\text{[1,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se llama $x$ al número de lavadoras e $y$ al de frigoríficos. Cada frase del enunciado se traduce en una desigualdad:

$\{\begin{array}{ll}y\ge x& \text{al menos tantos frigor}\acute{\text{ı}}\text{ficos como lavadoras}\\ y\le 2x& \text{no m}\acute{\text{a}}\text{s del doble}\\ y\ge 20& \text{al menos 20 frigor}\acute{\text{ı}}\text{ficos}\\ x\le 30& \text{como mucho 30 lavadoras}\\ x\ge 0,y\ge 0& \end{array}$



El recinto es un cuadrilátero. Sus vértices salen de cortar las rectas dos a dos:

$y=2x$ con $y=20$ da $A(10,20)$; $y=x$ con $y=20$ da $B(20,20)$; $x=30$ con $y=x$ da $C(30,30)$, y $x=30$ con $y=2x$ da $D(30,60)$.

Para la pregunta concreta, $x=20$ e $y=50$: se cumple $50\ge 20$ y $50\ge 20$, pero falla la condición del doble, porque $2x=40$ y $50>40$. Por tanto, $\mathbf{\text{no}}$: con 20 lavadoras no se pueden tener 50 frigoríficos; el punto queda por encima de la recta $y=2x$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{electrodom}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{sticos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tener}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{maximizar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{vender}}\mathbf{\text{todo}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{almac}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{¿Y}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{minimizar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{lavadoras?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La función objetivo es

$F(x,y)=200x+250y$

y se evalúa en los cuatro vértices:

$F(10,20)=2000+5000=7000F(20,20)=4000+5000=9000$

$F(30,30)=6000+7500=13500F(30,60)=6000+15000=21000$

El máximo se alcanza en $D(30,60)$: hay que tener $\mathbf{\text{30}}\mathbf{\text{lavadoras}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{60}}\mathbf{\text{frigor}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ficos}}$, con un beneficio de $\mathbf{\text{21}}\mathbf{\text{000}}\mathbf{\text{euros}}$. Es el vértice donde se llega a la vez al tope de lavadoras y al doble de frigoríficos.

Para minimizar el número de lavadoras la función objetivo pasa a ser simplemente $x$, y el vértice con menor abscisa es $A(10,20)$: $\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{lavadoras}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{frigor}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ficos}}$. Menos de 10 lavadoras es imposible, porque harían falta al menos 20 frigoríficos y estos no pueden pasar del doble de las lavadoras.