Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Cuestión 2. (2 puntos) Sea $S$ la región del plano definida por las inecuaciones:
$S=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid y\ge 2x-4,y\le x-1,2y\ge x,x\ge 0,y\ge 0\}$
a) Representar la región $S$ y obtener sus vértices.
b) Maximizar la función $f(x,y)=x-3y$ en $S$ indicando los puntos de $S$ donde se alcanza el máximo.
c) Minimizar la función $f(x,y)=x-3y$ en $S$ indicando los puntos de $S$ donde se alcanza el mínimo.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Representar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathit{S}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices.}}$

Se dibuja cada recta frontera y se toma el semiplano que cumple la desigualdad: por encima de $y=2x-4$, por debajo de $y=x-1$ y por encima de $y={\displaystyle \frac{x}{2}}$. La intersección es un triángulo del primer cuadrante.



Los vértices se obtienen cortando las rectas dos a dos.

$x-1={\displaystyle \frac{x}{2}}\Rightarrow x=2;y=1\Rightarrow A(2,1)$

$x-1=2x-4\Rightarrow x=3;y=2\Rightarrow B(3,2)$

$2x-4={\displaystyle \frac{x}{2}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{3x}{2}}=4\Rightarrow x={\displaystyle \frac{8}{3}};y={\displaystyle \frac{4}{3}}$

Los vértices de la región $S$ son $A(2,1)$, $B(3,2)$ y $C({\displaystyle \frac{8}{3}},{\displaystyle \frac{4}{3}})$, y los tres cumplen $x\ge 0$ e $y\ge 0$.



La región es cerrada y acotada y la función es lineal, así que los extremos se alcanzan en los vértices.

$f(2,1)=-1;f(3,2)=-3;f(\frac{8}{3},\frac{4}{3})=-{\displaystyle \frac{4}{3}}$

El máximo vale $-1$ y se alcanza únicamente en el vértice $A(2,1)$.



De los mismos tres valores, el menor es el que corresponde al segundo vértice.

$-3<-{\displaystyle \frac{4}{3}}<-1$

El mínimo vale $-3$ y se alcanza únicamente en el vértice $B(3,2)$.