Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Cuestión 2. (2,5 puntos) Sea $S$ la región del plano delimitado por el siguiente sistema de inecuaciones:
$\{\begin{array}{l}3x+2y\ge 2\\ x-y\le 4\\ x\ge 1\\ y\le 2\end{array}$
a) Representar la región $S$ y calcular sus vértices. (2 puntos)
b) Determinar los puntos de la región factible dónde la función $f(x,y)=4x-5y$ alcanza su valor máximo y mínimo. Calcule dichos valores. (0,5 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Representar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathit{S}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices.}}(2\text{ puntos})$

Se dibuja cada restricción como una recta y se toma el semiplano que cumple la desigualdad: la región queda a la derecha de $x=1$, por debajo de $y=2$, por encima de $3x+2y=2$ y por encima de $x-y=4$.



Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de las rectas que se cortan en cada esquina.

$\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}\Rightarrow A(1,2);\{\begin{array}{l}y=2\\ x-y=4\end{array}\Rightarrow B(6,2)$

$\{\begin{array}{l}x-y=4\\ 3x+2y=2\end{array}\Rightarrow 3(4+y)+2y=2\Rightarrow y=-2;x=2$

$\{\begin{array}{l}x=1\\ 3x+2y=2\end{array}\Rightarrow 2y=-1\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

La región $S$ es el cuadrilátero de vértices $A(1,2)$, $B(6,2)$, $C(2,-2)$ y $D(1,-{\displaystyle \frac{1}{2}})$.



La región es cerrada y acotada y la función es lineal, así que los extremos se alcanzan en los vértices.

$f(1,2)=-6;f(6,2)=14;f(2,-2)=18;f(1,-\frac{1}{2})=\mathrm{6,5}$

El máximo vale $18$ y se alcanza en $C(2,-2)$; el mínimo vale $-6$ y se alcanza en $A(1,2)$.