Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Pregunta 3.2 (2,5 puntos). Responda únicamente a una de las dos opciones, o bien 3.1 o bien 3.2.

Considere la región $S$ del plano delimitada por las siguientes restricciones:
$x\le 6,3y-2x\le 10,3y\ge 2-2x,x\le 10-y,y\ge x-6.$

a) (2 puntos) Calcule las coordenadas de los vértices de $S$ y represente gráficamente la región $S$.

b) (0,5 puntos) Se desea minimizar el triple de $y$ menos la mitad de $x$ en $S$. Indique el valor mínimo y el punto de la región en el cual se alcanza.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{coordenadas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices}}\mathbf{\text{de}}\mathit{S}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{represente}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathit{S}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Reordenamos las restricciones y damos nombre a cada recta frontera.

$\{\begin{array}{l}x\le 6\\ 3y-2x\le 10\\ 2x+3y\ge 2\\ x+y\le 10\\ x-y\le 6\end{array}\begin{array}{l}{r}_1:x=6\\ r_2:3y-2x=10\\ r_3:2x+3y=2\\ r_4:x+y=10\\ r_5:x-y=6\end{array}$

Los vértices son los puntos donde se cortan dos rectas frontera consecutivas y que además cumplen todas las restricciones.

$\{\begin{array}{l}2x+3y=2\\ x-y=6\end{array}\Rightarrow 2(6+y)+3y=2\Rightarrow y=-2\Rightarrow A(4,-2)$

$\{\begin{array}{l}x=6\\ x-y=6\end{array}\Rightarrow B(6,0)$

$\{\begin{array}{l}x=6\\ x+y=10\end{array}\Rightarrow C(6,4)$

$\{\begin{array}{l}3y-2x=10\\ x+y=10\end{array}\Rightarrow 3y-2(10-y)=10\Rightarrow y=6\Rightarrow D(4,6)$

$\{\begin{array}{l}3y-2x=10\\ 2x+3y=2\end{array}\Rightarrow 6y=12\Rightarrow y=2\Rightarrow E(-2,2)$

Comprobamos uno de ellos en las cinco restricciones, por ejemplo $A(4,-2)$: $4\le 6$, $-14\le 10$, $2\ge 2$, $2\le 10$ y $6\le 6$. Los cinco puntos las verifican todas.

La región $S$ es el pentágono de vértices $A(4,-2)$, $B(6,0)$, $C(6,4)$, $D(4,6)$ y $E(-2,2)$.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{desea}}\mathbf{\text{minimizar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{triple}}\mathbf{\text{de}}\mathit{y}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mitad}}\mathbf{\text{de}}\mathit{x}\mathbf{\text{en}}\mathit{S}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{Indique}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cual}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{alcanza.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Traducimos el enunciado a una función objetivo lineal. Como la región es cerrada y acotada, el mínimo se alcanza en un vértice y basta evaluarla en los cinco.

$z=3y-{\displaystyle \frac{1}{2}}x$

$z(A)=3(-2)-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 4=-8$

$z(B)=0-3=-3$

$z(C)=12-3=9$

$z(D)=18-2=16$

$z(E)=6+1=7$

El valor mínimo es $z=-8$ y se alcanza en el vértice $A(4,-2)$.