Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Pregunta 3 (2 puntos)

Opción B. Resuelva el siguiente problema de programación lineal:

Minimizar $f(x,y)=x+y$ sujeta a $\{\begin{array}{l}3x+2y\ge 12\\ x+2y\ge 8\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$

a) Represente la región factible. [0,75 puntos]

b) Encuentre los vértices de esta región. [0,25 puntos]

c) Dibuje la línea de nivel 0 y las líneas de nivel que pasan por los vértices de la región factible. [0,5 puntos]

d) Identifique el punto de la región factible donde la función objetivo alcanza el mínimo y el valor mínimo de dicha función. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible.}}(\mathrm{0,75}\text{ puntos})$

Se representa cada restricción como una recta y se elige el semiplano que cumple la desigualdad. La recta $3x+2y=12$ pasa por $(0,6)$ y $(4,0)$; la recta $x+2y=8$, por $(0,4)$ y $(8,0)$.

$3\cdot 0+2\cdot 0=0\ge ̸12;0+2\cdot 0=0\ge ̸8$

Como el origen no cumple ninguna de las dos, en ambos casos se toma el semiplano que no lo contiene. Junto con $x\ge 0$ e $y\ge 0$, la región factible es no acotada.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Encuentre}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}(\mathrm{0,25}\text{ puntos})$

Sobre cada eje manda la restricción más exigente: en $x=0$ es $2y\ge 12$, y en $y=0$ es $x\ge 8$. El tercer vértice es el corte de las dos rectas oblicuas.

$\{\begin{array}{l}3x+2y=12\\ x+2y=8\end{array}\Rightarrow 2x=4\Rightarrow x=2$

$2+2y=8\Rightarrow y=3$

Los vértices de la región factible son $A(0,6)$, $B(2,3)$ y $C(8,0)$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Dibuje}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{0}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{neas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasan}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

Las líneas de nivel de la función objetivo son las rectas $x+y=k$, todas paralelas de pendiente $-1$. La de nivel $0$ pasa por el origen y las otras tres se obtienen valorando la función en cada vértice.

$f(A)=0+6=6;f(B)=2+3=5;f(C)=8+0=8$

Las líneas pedidas son $x+y=0$, $x+y=6$, $x+y=5$ y $x+y=8$.



$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Identifique}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{objetivo}}\mathbf{\text{alcanza}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

Al minimizar se desplaza la recta de nivel hacia abajo y a la izquierda mientras siga tocando la región. El menor de los tres valores del apartado anterior es el que se alcanza en $B$.

$f(B)=f(2,3)=2+3=5$

Aunque la región no está acotada, sí lo está por abajo: al alejarse hacia arriba o hacia la derecha la suma $x+y$ crece sin límite, de modo que el mínimo existe. La función objetivo alcanza su mínimo en el vértice $B(2,3)$ y vale $5$.