Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

En un parque de atracciones quedan 2 horas para el cierre. Una persona quiere repartir ese tiempo entre sus dos atracciones favoritas: dragón rojo y gran loop. Cada viaje en el dragón rojo se estima que dura 6 minutos. Cada viaje en gran loop dura unos 8 minutos. Quiere hacer al menos 1 viaje en el gran loop y que el número de viajes en el dragón rojo sea a lo sumo el doble que el número de viajes en el gran loop.

a) Si se sube 8 veces en el dragón rojo, ¿cuántos viajes puede hacer en el gran loop? ¿Puede subir 6 veces a cada atracción? [1 punto]

b) Siendo $x$ el número de viajes en el dragón rojo e $y$ el número de viajes en el gran loop, a partir de la imagen, indique cuál es la región factible para el problema que consiste en resolver cuántas veces puede subir esta persona a cada atracción. Señale los vértices (p. ej.: $B$, $D$, $F$ y $G$) y justifique su respuesta. [1 punto]



c) Si los viajes en el dragón rojo cuestan 5 euros y en el gran loop 3 euros, ¿cuánto dinero puede llegar a gastar, como máximo? ¿Y cuánto puede gastar, como mínimo? [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{sube}}\mathbf{\text{8}}\mathbf{\text{veces}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{drag}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{rojo,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{viajes}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{hacer}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{gran}}\mathbf{\text{loop?}}\mathbf{\text{¿Puede}}\mathbf{\text{subir}}\mathbf{\text{6}}\mathbf{\text{veces}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{atracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se llama $x$ al número de viajes en el dragón rojo e $y$ al de viajes en el gran loop. Las condiciones del enunciado son

$6x+8y\le 120$ (las dos horas, en minutos)

$y\ge 1$ (al menos un viaje en el gran loop)

$x\le 2y$ (el dragón, a lo sumo el doble que el gran loop)

Con $x=8$, las tres se convierten en condiciones sobre $y$:

$48+8y\le 120\Rightarrow y\le 9$

$8\le 2y\Rightarrow y\ge 4$

junto con $y\ge 1$, que ya está incluida en la anterior. De modo que puede hacer entre $4$ y $9$ viajes en el gran loop.

Y sí, $\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{subir}}\mathbf{\text{6}}\mathbf{\text{veces}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{atracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}$: con $x=y=6$ el tiempo empleado es

$6\cdot 6+8\cdot 6=36+48=84\le 120\text{ minutos}$

y además $y=6\ge 1$ y $x=6\le 2\cdot 6=12$. Le sobrarían incluso 36 minutos.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Indique}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{se}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{ale}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










La región factible es la que cumplen a la vez las tres inecuaciones (con la del tiempo simplificada dividiendo entre 2):

$3x+4y\le 60,y\ge 1,x\le 2y,x\ge 0$

Es el cuadrilátero de vértices

$B(0,1),D(2,1),F(12,6),G(0,15)$





Cada vértice sale de cortar dos de las rectas:

$B$: el eje $x=0$ con $y=1$.

$D$: la recta $x=2y$ con $y=1$.

$F$: la recta del tiempo con $x=2y$, es decir, $3(2y)+4y=60\Rightarrow 10y=60\Rightarrow y=6$ y $x=12$.

$G$: el eje $x=0$ con la recta del tiempo, $4y=60\Rightarrow y=15$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{viajes}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{drag}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{rojo}}\mathbf{\text{cuestan}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{gran}}\mathbf{\text{loop}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{euros,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{dinero}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{llegar}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{gastar,}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo?}}\mathbf{\text{¿Y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{gastar,}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La función objetivo es el gasto:

$F(x,y)=5x+3y$

y como es lineal, sus valores extremos sobre el recinto se alcanzan en los vértices:

Vértice	$F(x,y)=5x+3y$ $B(0,1)$	$3$ € $D(2,1)$	$13$ € $F(12,6)$	$60+18=78$ € $G(0,15)$	$45$ €

Como máximo puede gastar $78$ €, subiendo 12 veces al dragón rojo y 6 al gran loop —y empleando los 120 minutos justos—, y como mínimo $3$ €, que corresponde a subir una sola vez al gran loop y ninguna al dragón.