Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Problema 1.

En una explotación ganadera se crían 100 animales. Cada ejemplar necesita diariamente como mínimo 5 kg de piensos de origen animal y como mínimo 3 kg de piensos de origen vegetal. Hay dos marcas A y B que venden sacos con mezclas de dichos piensos. La marca A vende sacos con 7 kg de piensos animales y 3 kg de piensos vegetales. La marca B vende sacos con 6 kg de piensos animales y 4 kg de piensos vegetales. Si los sacos de la marca A cuestan 12 euros y los de la marca B cuestan 11 euros,

a) ¿cuál es la combinación de compra de sacos de cada marca que se ha de realizar semanalmente para minimizar el coste? (8 puntos)
b) ¿cuál sería dicho coste mínimo? (2 puntos)

$\mathbf{\text{Problema}}\mathbf{\text{1.}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{explotaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{ganadera}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{cr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{100}}\mathbf{\text{animales.}}\mathbf{\text{Cada}}\mathbf{\text{ejemplar}}\mathbf{\text{necesita}}\mathbf{\text{diariamente}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{kg}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{piensos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{origen}}\mathbf{\text{animal}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{kg}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{piensos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{origen}}\mathbf{\text{vegetal.}}\mathbf{\text{Hay}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{marcas}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{venden}}\mathbf{\text{sacos}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{mezclas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dichos}}\mathbf{\text{piensos.}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{marca}}\mathit{A}\mathbf{\text{vende}}\mathbf{\text{sacos}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{7}}\mathbf{\text{kg}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{piensos}}\mathbf{\text{animales}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{kg}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{piensos}}\mathbf{\text{vegetales.}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{marca}}\mathit{B}\mathbf{\text{vende}}\mathbf{\text{sacos}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{6}}\mathbf{\text{kg}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{piensos}}\mathbf{\text{animales}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{kg}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{piensos}}\mathbf{\text{vegetales.}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{sacos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{marca}}\mathit{A}\mathbf{\text{cuestan}}\mathbf{\text{12}}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{marca}}\mathit{B}\mathbf{\text{cuestan}}\mathbf{\text{11}}\mathbf{\text{euros,}}$
$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{combinaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{compra}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sacos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{marca}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{realizar}}\mathbf{\text{semanalmente}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{minimizar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste?}}\mathbf{\text{(8}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Llamamos $x$ al número de sacos semanales a comprar de la marca A e $y$ al número de sacos semanales a comprar de B.
Hacemos una tabla para ordenar toda la información del ejercicio.

$$	$\text{Kg de origen animal}$	$\text{Kg de origen vegetal}$	$\text{ Coste diario}$
Nº sacos A (x)	7x	3x	12x
Nº sacos B (y)	6y	4y	11y
Totales	7x + 6y	3x + 4y	12x + 11y
\

La función objetivo que deseamos minimizar es el coste semanal: $C(x,y)=12x+11y$.
Las restricciones del problema son:
Se necesitan diariamente como mínimo $100\cdot 5=500$ kg de pienso de origen animal. A la semana harán falta $7\cdot 500=3500$ kg $\Rightarrow$ $7x+6y\ge 3500$.
Se necesitan diariamente como mínimo $100\cdot 3=300$ kg de pienso de origen vegetal. A la semana harán falta $7\cdot 300=2100$ $\Rightarrow$ $3x+4y\ge 2100$.
Las cantidades deben ser positivas $\Rightarrow$ $x\ge 0;y\ge 0$.

Reunimos todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:
$\{\begin{array}{l}7x+6y\ge 3500\\ 3x+4y\ge 2100\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$.

Para representar la región factible empezamos dibujando las rectas que la delimitan:(La región factible es la zona coloreada en azul)
$7x+6y=3500\Rightarrow y=\frac{3500-7x}{6}$,
$3x+4y=2100\Rightarrow y=\frac{2100-3x}{4}$,
con $x\ge ;y\ge 0$ en el primer cuadrante.

Tablas de valores y representación gráfica:




$7x+6y=3500$

$x$	$y={\displaystyle \frac{3500-7x}{6}}$
500	0
140	420

$3x+4y=2100$

$x$	$y={\displaystyle \frac{2100-3x}{4}}$
0	525
140	420

$x\ge 0;y\ge 0$
Primer cuadrante










Las coordenadas de los vértices se obtienen de resolver los sistemas de ecuaciones:
Vértice$A$
$\{\begin{array}{l}7x+6y=3500\\ x=0\end{array}$ $\Rightarrow 6y=3500\Rightarrow y=\frac{3500}{6}=\frac{1750}{3}\Rightarrow A(0,\frac{1750}{3})$

Vértice$B$
$\{\begin{array}{l}7x+6y=3500\\ 3x+4y=2100\end{array}$$\Rightarrow$Multiplico por $3$ la ecuación 1 y por $-7$ la ecuación 2:$\Rightarrow$ $\{\begin{array}{l}21x+18y=10500\\ -21x-28y=-14700\end{array}$

Sumando: