Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Problema 1.

Una fábrica vende diariamente dos modelos de bolígrafos de color verde. El modelo sencillo requiere una unidad de tinta y otra de plástico para su fabricación, el más sofisticado requiere una unidad de tinta y una y media de plástico. Dispone de 2 500 unidades de tinta y de 3 000 de plástico, y además se sabe que no se pueden fabricar más de 2 000 unidades de bolígrafos sencillos. Por cada bolígrafo sencillo la empresa gana 0,5 euros y por cada uno de los sofisticados 0,7 euros.

a) ¿Cuántas unidades de cada tipo debe producir para maximizar las ganancias? (8 puntos)
b) ¿A cuánto ascienden estas ganancias máximas? (2 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{producir}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{maximizar}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{ganancias?}}\mathbf{\text{(8}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$$	$\text{Unidades deTinta (ud)}$	$\text{Pl}\acute{\text{a}}\text{stico (ud)}$	$\text{Beneficio (€)}$
Sencillo	x	1x	0,5x
Sofisticado	y	1,5y	0,7y
Totales	x+y	x+1,5y	0,5x + 0,7y

Consecuentemente, se trata de obtener el máximo de $f(x,y)=0,5x+0,7y$ sujeta a las restricciones dadas por:

$\{\begin{array}{l}x+y\le 2500\\ x+1,5y\le 3000\\ x\le 2000\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}y\le 2500-x\\ y\le \frac{6000-2x}{3}\end{array}$

$x$	$y=2500-x$
0	2500
2500	0

$x$	$y=\frac{6000-2x}{3}$
0	2000
3000	0

Tenemos los vértices $A(0,0)$; $B(0,2000)$; $E(2000,0)$ y determinamos los vértices restantes:

Vértice C $\Rightarrow \{\begin{array}{l}y=2500-x\\ y=\frac{6000-2x}{3}\end{array}\Rightarrow 2500-x=\frac{6000-2x}{3}\Rightarrow x=1500y=1000\Rightarrow C(1500,1000)$

Vértice D $\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=2000\\ y=2500-x\end{array}\Rightarrow y=500\Rightarrow D(2000,500)$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{ascienden}}\mathbf{\text{estas}}\mathbf{\text{ganancias}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximas?}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Por tanto:

$f(x,y)=0,5x+0,7y$

$f(0,0)=0\text{€ }$
$f(0,2000)=0,7\cdot 2000=1400\text{€ }$
$f(1500,1000)=0,5\cdot 1500+0,7\cdot 1000=1450\text{€ }$
$f(2000,500)=0,5\cdot 2000+0,7\cdot 500=1350\text{€ }$
$f(2000,0)=0,5\cdot 2000=1000\text{€ }$

Deben producirse 1500 bolígrafos sencillos y 1000 bolígrafos sofisticados para obtener los beneficios máximos de 1450€.