Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

A.2. ( 2 puntos)

Un vivero elabora dos tipos de sustratos. Para elaborar 1 $m^3$ del tipo A necesita 60 kg de tierra vegetal y 30 horas de trabajo. Para elaborar 1 $m^3$ del tipo B necesita 50 kg de tierra vegetal y 50 horas de trabajo. El vivero dispone como máximo de 21000 kg de tierra vegetal y 15000 horas de trabajo. Además, la cantidad de metros cúbicos que elabora de tipo A debe ser como mucho cinco veces la cantidad de tipo B. Por la venta de cada metro cúbico de tipo A obtiene un beneficio de 50 € y 60 € por cada metro cúbico de tipo B.

a) Represente la región del plano determinada por las restricciones anteriores y determine las coordenadas de sus vértices.
b) Determine cuántos metros cúbicos de cada tipo deben elaborarse para, respetando las restricciones anteriores, maximizar el beneficio. Obtenga el valor del beneficio máximo.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{determinada}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{restricciones}}\mathbf{\text{anteriores}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{coordenadas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Llamamos $x$ a los metros cúbicos de sustrato del tipo A e $y$ a los del tipo B. Ordenamos los datos en una tabla antes de escribir las restricciones.

$$	$\text{Tierra vegetal (kg)}$	$\text{Trabajo (h)}$	$\text{Beneficio (euros)}$ Tipo A ($x$)	$60x$	$30x$	$50x$ Tipo B ($y$)	$50y$	$50y$	$60y$ Totales	$60x+50y$	$30x+50y$	$50x+60y$

La tierra vegetal y las horas de trabajo están limitadas, la cantidad de tipo A es como mucho cinco veces la de tipo B y ninguna producción puede ser negativa.

$\{\begin{array}{l}60x+50y\le 21000\\ 30x+50y\le 15000\\ x\le 5y\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}6x+5y\le 2100\\ 3x+5y\le 1500\\ x\le 5y\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$

Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas que forman cada dos rectas frontera consecutivas.

$\{\begin{array}{l}x=0\\ x=5y\end{array}\Rightarrow O(0,0)$

$\{\begin{array}{l}x=5y\\ 6x+5y=2100\end{array}\Rightarrow 30y+5y=2100\Rightarrow y=60\Rightarrow A(300,60)$

$\{\begin{array}{l}6x+5y=2100\\ 3x+5y=1500\end{array}\Rightarrow 3x=600\Rightarrow x=200\Rightarrow B(200,180)$

$\{\begin{array}{l}3x+5y=1500\\ x=0\end{array}\Rightarrow 5y=1500\Rightarrow C(0,300)$

La región factible es el cuadrilátero de vértices $O(0,0)$, $A(300,60)$, $B(200,180)$ y $C(0,300)$.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{metros}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{bicos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{deben}}\mathbf{\text{elaborarse}}\mathbf{\text{para,}}\mathbf{\text{respetando}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{restricciones}}\mathbf{\text{anteriores,}}\mathbf{\text{maximizar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio.}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La función objetivo es lineal y la región factible es cerrada y acotada, así que el máximo se alcanza en uno de los vértices. Evaluamos $B(x,y)=50x+60y$ en los cuatro.

$B(0,0)=0$

$B(300,60)=50\cdot 300+60\cdot 60=15000+3600=18600$

$B(200,180)=50\cdot 200+60\cdot 180=10000+10800=20800$

$B(0,300)=60\cdot 300=18000$

El beneficio máximo se obtiene elaborando 200 m³ del sustrato de tipo A y 180 m³ del de tipo B, y asciende a 20800 €.