Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Problema 2.
Una empresa apícola vende dos tipos de cajas con tres variedades de miel en cada una: miel de romero, miel de azahar y miel multifloral. La caja de tipo A contiene 2 tarros de miel de romero, 2 de azahar y 1 de multifloral. La caja de tipo B contiene 1 tarro de miel de romero, 2 de azahar y 2 de multifloral. Cada día la empresa dispone de 280 tarros de miel de romero, 300 de miel de azahar y 250 de miel multifloral. Con cada caja de tipo A obtiene un beneficio de 7 euros y con cada caja de tipo B obtiene un beneficio de 5 euros.
a) ¿Cuántas cajas de cada tipo debe comercializar para obtener un beneficio máximo? (8 puntos)
b) ¿Cuál es dicho beneficio máximo? (2 puntos)

$\mathbf{\text{Problema}}\mathbf{\text{2.}}\mathbf{\text{Una}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{ap}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cola}}\mathbf{\text{vende}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{tipos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cajas}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{variedades}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{miel}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{una:}}\mathbf{\text{miel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{romero,}}\mathbf{\text{miel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{azahar}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{miel}}\mathbf{\text{multifloral.}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{caja}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{2}\mathbf{\text{tarros}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{miel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{romero,}}\mathbf{2}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{azahar}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{1}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{multifloral.}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{caja}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{1}\mathbf{\text{tarro}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{miel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{romero,}}\mathbf{2}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{azahar}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{2}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{multifloral.}}\mathbf{\text{Cada}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{dispone}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">280</mn>}\mathbf{\text{tarros}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{miel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{romero,}}\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">300</mn>}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{miel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{azahar}}\mathbf{\text{y}}\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">250</mn>}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{miel}}\mathbf{\text{multifloral.}}\mathbf{\text{Con}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{caja}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{obtiene}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{7}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{caja}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{obtiene}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{5}\mathbf{\text{euros.}}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{cajas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{comercializar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo?}}\mathbf{\text{(8}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Llamamos $x$ al número de cajas tipo $A$ e $y$ al número de cajas tipo $B$.
Hacemos una tabla para ordenar toda la información del ejercicio.

$$	$\text{Miel de romero}$	$\text{Miel de azahar}$	$\text{Miel multifloral}$	$\text{Beneficio}$
Nº cajas A (x)	2x	2x	x	7x
Nº cajas B (y)	y	2y	2y	5y
Totales	2x + y	2x + 2y	x + 2y	7x + 5y

$f(x,y)=7x+5y(\text{funci}\acute{\text{o}}\text{n objetivo, m}\acute{\text{a}}\text{ximo})$

Restricciones:
$2x+y\le 280$
$2x+2y\le 300$
$x+2y\le 250$
$x\ge 0;y\ge 0$

Despejes:
$2x+y\le 280\Rightarrow y\le 280-2x$

$2x+2y\le 300\Rightarrow y\le 150-x$

$x+2y\le 250\Rightarrow y\le \frac{250-x}{2}$


Para representar la región factible empezamos dibujando las rectas que la delimitan:

$x$	$y=280-2x$
0	280
140	0

$x$	$y=150-x$
0	150
150	0

$x$	$y=250-x\mathrm{/}2$
0	125
250	0

Conocemos ya los vértices A(0,0), B(0,125) y E(140,0). Calculamos los demás:

$C:\{\begin{array}{l}y=150-x\\ y=\frac{250-x}{2}\end{array}\Rightarrow 150-x=\frac{250-x}{2}\Rightarrow x=50;y=100\Rightarrow C(50,100)$

$D:\{\begin{array}{l}y=150-x\\ y=280-2x\end{array}\Rightarrow 150-x=280-2x\Rightarrow x=130;y=20\Rightarrow D(130,20)$

$f(x,y)=7x+5y$

$f(0,0)=0$

$f(0,125)=5\cdot 125=625\text{€}$

$f(140,0)=7\cdot 140=980\text{€}$

$f(50,100)=7\cdot 50+5\cdot 100=850\text{€}$

$f(130,20)=7\cdot 130+5\cdot 20=1010\text{€}$

CONCLUSIÓN: Se deben comercializar 130 cajas de tipo A y 20 cajas de tipo B para obtener el beneficio máximo.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo?}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Comercializando 130 cajas de tipo A y 20 cajas de tipo B el beneficio máximo de 1010 € al día.