Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Problema 1.

El veterinario me ha recomendado que mi perro tome diariamente un mínimo de 8 unidades de hidratos de carbono, un mínimo de 46 unidades de proteínas y un mínimo de 12 unidades de grasas. En el mercado encuentro dos marcas $A$ y $B$ de comida para perros. Una lata de la marca $A$ contiene 4 unidades de hidratos de carbono, 6 unidades de proteínas y 1 unidad de grasas. Una lata de la marca $B$ contiene 2 unidades de hidratos de carbono, 20 unidades de proteínas y 12 unidades de grasas. La lata de la marca $A$ cuesta 10 euros y la lata de la marca $B$ cuesta 16 euros.

a) ¿Cómo deberé combinar ambas marcas para obtener la dieta deseada por el mínimo precio? (8 puntos)
b) ¿Cuál es el mínimo precio que habré de pagar? (2 puntos)

$\mathbf{\text{Problema}}\mathbf{\text{1.}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{veterinario}}\mathbf{\text{me}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{recomendado}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{mi}}\mathbf{\text{perro}}\mathbf{\text{tome}}\mathbf{\text{diariamente}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{8}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{hidratos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{carbono,}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{46}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{prote}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{12}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{grasas.}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mercado}}\mathbf{\text{encuentro}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{marcas}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{comida}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{perros.}}\mathbf{\text{Una}}\mathbf{\text{lata}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{marca}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{hidratos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{carbono,}}\mathbf{\text{6}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{prote}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{unidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{grasas.}}\mathbf{\text{Una}}\mathbf{\text{lata}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{marca}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{hidratos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{carbono,}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{prote}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{12}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{grasas.}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{lata}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{marca}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{cuesta}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lata}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{marca}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{cuesta}}\mathbf{\text{16}}\mathbf{\text{euros.}}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿C}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{mo}}\mathbf{\text{deber}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{combinar}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{marcas}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{dieta}}\mathbf{\text{deseada}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{precio?}}\mathbf{\text{(8}}\mathbf{\text{puntos)}}$
Llamamos x al número de latas marca A e y al número de latas marca B.
Hacemos una tabla para ordenar toda la información del ejercicio.

$$	$\text{Hidratos de carbono}$	$\text{Prote}\acute{\text{ı}}\text{nas}$	$\text{Grasas}$	$\text{Coste}$
Nº latas A (x)	4x	6x	x	10x
Nº latas B (y)	2y	20y	12y	16y
Totales	4x + 2y	6x + 20y	x + 12y	10x + 16y

La función objetivo que deseamos minimizar es el coste: $C(x,y)=10x+16y$.
Restricciones:
$4x+2y\ge 8$
$6x+20y\ge 46$
$x+12y\ge 12$
$x\ge 0;y\ge 0$

Para representar la región factible empezamos dibujando las rectas que la delimitan:




$2x+y=4$

$x$	$y=4-2x$
0	4
1	2
2	0

$3x+10y=23$

$x$	$y={\displaystyle \frac{23-3x}{10}}$
1	2
6	0.5
7	0.2 \

$x+12y=12$

$x$	$y={\displaystyle \frac{12-x}{12}}$
0	1
6	0.5
12	0

$x\ge 0y\ge 0$
primer cuadrante





La representación grafica es:









Vértice A: $\{\begin{array}{l}x=0\\ y=4-2x\end{array}\Rightarrow A(0,4)$

Vértice B: $\{\begin{array}{l}y=\frac{23-3x}{10}\\ y=4-2x\end{array}\Rightarrow \frac{23-3x}{10}=4-2x\Rightarrow x=1;y=2\Rightarrow B(1,2)$

Vértice C: $\{\begin{array}{l}y=\frac{23-3x}{10}\\ y=\frac{12-x}{12}\end{array}\Rightarrow \frac{23-3x}{10}=\frac{12-x}{12}\Rightarrow x=6;y=\frac{1}{2}\Rightarrow C(6,\frac{1}{2})$

Vértice D: $\{\begin{array}{l}y=\frac{12-x}{12}\\ y=0\end{array}\Rightarrow D(12,0)$





Por tanto:

$f(x,y)=10x+16y$

$f(0,4)=10\cdot 0+16\cdot 4=64\text{€}$

$f(1,2)=10\cdot 1+16\cdot 2=42\text{€}$

$f(6,\frac{1}{2})=10\cdot 6+16\cdot \frac{1}{2}=68\text{€}$

$f(12,0)=10\cdot 12=120\text{€}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{pagar?}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$
Hay que combinar 1 lata de la marca A con 2 latas de la marca B para obtener la dieta deseada a un coste mínimo de 42 €.