Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Problema 1.

Para fertilizar una parcela de cultivo se utilizan dos tipos de fertilizantes, $A$ y $B$. El cultivo de la parcela necesita un mínimo de 120 kilos de nitrógeno y 110 kilos de fósforo. El fertilizante $A$ contiene un 25% de nitrógeno y un 15% de fósforo, siendo su precio de 1,2 euros el kilo, mientras que el fertilizante $B$ contiene un 16% de nitrógeno y un 40% de fósforo y cuesta 1,6 euros el kilo.

a) ¿Qué cantidad se necesita de cada tipo de fertilizante para que el coste de la fertilización resulte mínimo? (8 puntos)
b) ¿Cuál es este coste mínimo? (2 puntos)

$\mathbf{\text{Problema}}\mathbf{\text{1.}}\mathbf{\text{Para}}\mathbf{\text{fertilizar}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{parcela}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cultivo}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{utilizan}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{tipos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fertilizantes,}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{cultivo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{parcela}}\mathbf{\text{necesita}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{120}}\mathbf{\text{kilos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{nitr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{geno}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{110}}\mathbf{\text{kilos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{f}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{sforo.}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{fertilizante}}\mathit{A}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{25\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{nitr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{geno}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{15\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{f}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{sforo,}}\mathbf{\text{siendo}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{1,2}}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{kilo,}}\mathbf{\text{mientras}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{fertilizante}}\mathit{B}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{16\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{nitr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{geno}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{40\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{f}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{sforo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cuesta}}\mathbf{\text{1,6}}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{kilo.}}$
$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{necesita}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fertilizante}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fertilizaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{resulte}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo?}}\mathbf{\text{(8}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Llamamos “$x$” al número de kilos del fertilizante A e “$y$” al número de kilos del fertilizante B.

Realizamos una tabla para establecer de forma más sencilla las restricciones y la función objetivo.

$$	$\text{Kilos de nitr}\acute{\text{o}}\text{geno}$	$\text{Kilos de f}\acute{\text{o}}\text{sforo}$	$\text{Precio}$
Kilos de fertilizante A (x)	0,25x	0,15x	1,2x
Kilos de fertilizante B (y)	0,16y	0,4y	1,6y
Totales	0,25x + 0,16y	0,15x + 0,4y	1,2x+1,6y

La función objetivo es el coste $\to f(x,y)=\mathrm{1,2}x+\mathrm{1,6}y$

Las restricciones son:

$\text{La parcela necesita un m}\acute{\text{ı}}\text{nimo de 120 kilos de nitr}\acute{\text{o}}\text{geno y 110 kilos de f}\acute{\text{o}}\text{sforo}\to \{\begin{array}{l}\mathrm{0,25}x+\mathrm{0,16}y\ge 120\\ \mathrm{0,15}x+\mathrm{0,4}y\ge 110\end{array}$

Las cantidades deben ser positivas $\to x\ge 0;y\ge 0$

Reunimos las restricciones en el sistema:

$\{\begin{array}{l}\mathrm{0,15}x+\mathrm{0,4}y\ge 110\\ \mathrm{0,25}x+\mathrm{0,16}y\ge 120\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$$\Rightarrow$ $\{\begin{array}{l}15x+40y\ge 11000\\ 25x+16y\ge 12000\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$$\Rightarrow$.$\{\begin{array}{l}3x+8y\ge 2200\\ 25x+16y\ge 12000\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$

Dibujamos las rectas asociadas a cada inecuación.




$3x+8y=2200$

$x$	$y={\displaystyle \frac{2200-3x}{8}}$
0	275
400	125
600	50

$25x+16y=12000$

$x$	$y={\displaystyle \frac{12000-25x}{16}}$
0	750
400	125

$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\text{ Primer cuadrante}$










Comprobamos si el punto $P(400,400)$ cumple todas las restricciones.

$3\cdot 400+8\cdot 400=1200+3200=4400\ge 2200$

$25\cdot 400+16\cdot 400=10000+6400=16400\ge 12000$

$400\ge 0,400\ge 0$

Se cumplen todas las desigualdades y la región factible es la zona rayada del dibujo.

Averiguamos las coordenadas de los vértices $A;B$ y $C$.

Vértice A : $\{\begin{array}{l}25x+16y=12000\\ x=0\end{array}\Rightarrow 16y=12000\Rightarrow y=750$

$A(0,750)$.

Vértice B: $\{\begin{array}{l}3x+8y=2200\\ 25x+16y=12000\end{array}$

Multiplicamos la primera ecuación por $-2$:

$\{\begin{array}{l}-6x-16y=-4400\\ 25x+16y=12000\end{array}$

Sumando: $19x=7600\Rightarrow x=400$

Sustituyendo: $3\cdot 400+8y=2200\Rightarrow 8y=1000\Rightarrow y=125$

$B(400,125)$.

Vértice C $\{\begin{array}{l}3x+8y=2200\\ y=0\end{array}\Rightarrow 3x=2200\Rightarrow x=\frac{2200}{3}$

$C(\frac{2200}{3},0)$.

Valoramos la función objetivo en cada vértice de la región factible.

$A(0,750)\Rightarrow f(0,750)=\mathrm{1,6}\cdot 750=1200$

$B(400,125)\Rightarrow f(400,125)=\mathrm{1,2}\cdot 400+\mathrm{1,6}\cdot 125=680$

$C(\frac{2200}{3},0)\Rightarrow f(\frac{2200}{3},0)=\mathrm{1,2}\cdot \frac{2200}{3}=880$

El mínimo coste se produce en el vértice $B(400,125)$.

Con 400 kilos del fertilizante A y 125 del fertilizante B el coste de fertilizar la parcela es mínimo.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo?}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$
Ese coste mínimo es de 680 €.