Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Un terapeuta organiza el tiempo diario que dedica a tratar pacientes en sesiones de tipo A, que duran 30 minutos, y sesiones de tipo B, que duran 60 minutos. En total dedica, a lo sumo, 7 horas y media diarias a tratar pacientes y al menos una sesión al día siempre es de tipo B. Además, quiere tener al menos tantas sesiones diarias de tipo A como de tipo B y también quiere que el número de sesiones de tipo A sea, a lo sumo, el triple que el número de las de tipo B.

a) ¿Puede dar en un día 8 sesiones de tipo A y 5 de tipo B? [0,5 puntos]

b) Si llamamos $x$ al número de sesiones de tipo A e $y$ al número de sesiones de tipo B que hace el terapeuta, explique cuál de las siguientes representaciones se corresponde con las posibles soluciones a la pregunta: ¿cuántas sesiones de cada tipo puede programar el terapeuta? [1,5 puntos]



c) Si por las sesiones de tipo B cobra el triple que por las sesiones de tipo A, ¿cuántas sesiones de cada tipo hacen máximo el beneficio diario? [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Puede}}\mathbf{\text{dar}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{8}}\mathbf{\text{sesiones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{B?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Las sesiones de tipo A duran 30 minutos y las de tipo B, 60. Con 8 y 5 sesiones el tiempo empleado sería

$8\cdot 30+5\cdot 60=240+300=540\text{ minutos}=9\text{ horas}$

y el límite diario son 7 horas y media, es decir, 450 minutos. Como $540>450$, $\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{puede}}$: se pasaría en hora y media, aunque las otras tres condiciones sí se cumplirían ($5\ge 1$, $8\ge 5$ y $8\le 15$).

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Explique}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{siguientes}}\mathbf{\text{representaciones}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{corresponde}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{posibles}}\mathbf{\text{soluciones.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$










Se traducen las cuatro condiciones, con $x$ las sesiones de tipo A e $y$ las de tipo B:

$30x+60y\le 450⟺x+2y\le 15$

$y\ge 1$

$x\ge y$ (al menos tantas A como B)

$x\le 3y$ (a lo sumo el triple)





La representación correcta es la $\mathbf{\text{(1)}}$, el cuadrilátero de vértices

$C(1,1),D(3,1),A(9,3),B(5,5)$

Cada vértice sale de cortar dos restricciones: $C$ es $x=y$ con $y=1$; $D$ es $x=3y$ con $y=1$; $A$ es $x=3y$ con $x+2y=15$ ($5y=15$, luego $y=3$); y $B$ es $x=y$ con $x+2y=15$ ($3y=15$, luego $y=5$).

Las otras tres hay que descartarlas: la $(2)$ sombrea la zona de debajo de $x=3y$, que incumple la condición de que las A no pasen del triple de las B; la $(3)$ usa la recta $x+y=\mathrm{7,5}$, es decir, confunde el número de sesiones con las horas y trata las dos como si durasen lo mismo; y la $(4)$ toma la región con $x\le y$, justo la contraria de la que pide el enunciado.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{sesiones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{cobra}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{triple}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{A,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{sesiones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{hacen}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{diario?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamando $p$ a lo que cobra por una sesión de tipo A, el beneficio es

$F(x,y)=px+3py=p(x+3y)$

y como $p>0$, maximizar el beneficio equivale a maximizar $x+3y$. Se evalúa en los cuatro vértices:

Vértice	$x+3y$ $C(1,1)$	$4$ $D(3,1)$	$6$ $A(9,3)$	$18$ $B(5,5)$	$20$

El máximo se alcanza en $B$: $\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{sesiones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{B}}$. Con ese reparto el terapeuta emplea

$5\cdot 30+5\cdot 60=450\text{ minutos}$

exactamente las siete horas y media disponibles, lo que confirma que no se puede hacer mejor.