Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Pregunta 3 (2 puntos)

Opción B. Considere la función objetivo $f(x,y)=3x-2y$ y la región del plano definida por las siguientes inecuaciones:

$\{\begin{array}{l}y\le 7\\ 3x-y\le 3\\ x+y\ge 5\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$

a) Represente la región factible. [0,75 puntos]

b) Encuentre los vértices de esta región. [0,5 puntos]

c) Obtenga los puntos de la región factible donde la función objetivo alcanza el máximo y el mínimo y calcule sus correspondientes valores. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible.}}(\mathrm{0,75}\text{ puntos})$

Las tres primeras inecuaciones tienen por frontera rectas que se dibujan por sus cortes con los ejes: $y=7$ es horizontal, $3x-y=3$ pasa por $(1,0)$ y $(0,-3)$, y $x+y=5$ por $(5,0)$ y $(0,5)$. Las dos últimas restringen el dibujo al primer cuadrante.

El punto $(1,6)$ cumple las cinco desigualdades, luego la región factible es la intersección de los semiplanos que lo contienen; es un recinto acotado con cuatro vértices.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Encuentre}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

Cada vértice es el corte de dos de las rectas frontera. Sobre el eje $OY$ el recinto va de $x+y=5$ a $y=7$.

$A(0,5);B(0,7)$

El tercero es el corte de $y=7$ con $3x-y=3$.

$3x-7=3\Rightarrow x={\displaystyle \frac{10}{3}}\Rightarrow C({\displaystyle \frac{10}{3}},7)$

El cuarto es el corte de $3x-y=3$ con $x+y=5$; sumando las dos ecuaciones desaparece la $y$.

$4x=8\Rightarrow x=2\Rightarrow y=5-2=3\Rightarrow D(2,3)$

Los vértices de la región factible son $A(0,5)$, $B(0,7)$, $C({\displaystyle \frac{10}{3}},7)$ y $D(2,3)$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{objetivo}}\mathbf{\text{alcanza}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{correspondientes}}\mathbf{\text{valores.}}(\mathrm{0,75}\text{ puntos})$

La región es un recinto convexo y acotado, así que por el teorema fundamental de la programación lineal los extremos de la función objetivo se alcanzan en los vértices. Se evalúa $f(x,y)=3x-2y$ en cada uno de ellos.

$f(0,5)=-10;f(0,7)=-14$

$f({\displaystyle \frac{10}{3}},7)=10-14=-4;f(2,3)=6-6=0$

El máximo vale $0$ y se alcanza en el vértice $D(2,3)$; el mínimo vale $-14$ y se alcanza en el vértice $B(0,7)$.