Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Ejercicio 2 (2,5 puntos). Responda únicamente a una de las dos preguntas, o bien 2.1 o 2.2.

Pregunta 2.2. Sean $x$ e $y$ dos números reales tales que

$x\ge -6,y\ge 0,-x+y\le 8,x+4y\le 12,x+y\le 6.$

2.2.a) (2 puntos) Represente gráficamente la región $S$ determinada por las restricciones y calcule las coordenadas de sus vértices.

2.2.b) (0,5 puntos) Se desea maximizar el doble de $y$ menos el triple de $x$ en $S$. Indique el valor máximo y el punto de la región en el cual se alcanza.

$\mathbf{\text{2.2.a)}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathit{S}\mathbf{\text{determinada}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{restricciones}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{coordenadas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Cada restricción es un semiplano y la región $S$ es la intersección de los cinco. Los vértices son los puntos donde se cortan dos rectas frontera consecutivas del contorno.

$\{\begin{array}{l}x=-6\\ y=0\end{array}\Rightarrow A(-6,0)$

$\{\begin{array}{l}x=-6\\ -x+y=8\end{array}\Rightarrow y=8-6=2\Rightarrow B(-6,2)$

$\{\begin{array}{l}-x+y=8\\ x+4y=12\end{array}\Rightarrow x+4(8+x)=12\Rightarrow 5x=-20\Rightarrow C(-4,4)$

$\{\begin{array}{l}x+4y=12\\ x+y=6\end{array}\Rightarrow 3y=6\Rightarrow y=2\Rightarrow D(4,2)$

$\{\begin{array}{l}x+y=6\\ y=0\end{array}\Rightarrow E(6,0)$

Comprobamos uno de ellos en las restricciones que no lo definen, por ejemplo $C(-4,4)$: $-4\ge -6$, $4\ge 0$ y $-4+4=0\le 6$. Los cinco puntos las cumplen todas.

La región $S$ es el pentágono de vértices $A(-6,0)$, $B(-6,2)$, $C(-4,4)$, $D(4,2)$ y $E(6,0)$.



$\mathbf{\text{2.2.b)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{desea}}\mathbf{\text{maximizar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{doble}}\mathbf{\text{de}}\mathit{y}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{triple}}\mathbf{\text{de}}\mathit{x}\mathbf{\text{en}}\mathit{S}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{Indique}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cual}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{alcanza.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Traducimos el enunciado a una función objetivo lineal. La región es cerrada y acotada, de modo que el máximo se alcanza en un vértice y basta evaluarla en los cinco.

$f(x,y)=2y-3x$

$f(A)=0+18=18$

$f(B)=4+18=22$

$f(C)=8+12=20$

$f(D)=4-12=-8$

$f(E)=0-18=-18$

El valor máximo es $22$ y se alcanza en el vértice $B(-6,2)$.