Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

PREGUNTA 2. ÁLGEBRA. (2 puntos)

Se considera el sistema de inecuaciones dado por:

$2x\ge 3y-7x+y+1\ge 0x\le 3x+2y\le 7$

Responda estos dos apartados: 2.1. y 2.2.

2.1. Represente gráficamente la región factible determinada por el sistema de inecuaciones anterior y calcule sus vértices.

2.2. Determine, si existen, los máximos y los mínimos de la función $f(x,y)=2x+3y$ sujeta a las restricciones definidas por el sistema de inecuaciones anterior.

$\mathbf{\text{2.1.}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible}}\mathbf{\text{determinada}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{inecuaciones}}\mathbf{\text{anterior}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices.}}$

Despejamos $y$ en cada inecuación para saber qué semiplano deja cada recta.

$\{\begin{array}{l}2x\ge 3y-7\Rightarrow y\le {\displaystyle \frac{2x+7}{3}}\\ x+y+1\ge 0\Rightarrow y\ge -x-1\\ x\le 3\\ x+2y\le 7\Rightarrow y\le {\displaystyle \frac{7-x}{2}}\end{array}$

Las rectas frontera se dibujan con dos puntos cada una:

$2x-3y+7=0$	$x+y+1=0$	$x=3$	$x+2y=7$ $(-2,1)$	$(-2,1)$	$(3,0)$	$(1,3)$ $(1,3)$	$(3,-4)$	$(3,5)$	$(3,2)$

La región factible es la zona coloreada en azul, un cuadrilátero cerrado.



Cada vértice se obtiene resolviendo el sistema que forman las dos rectas que se cortan en él.

Vértice $A$:

$\{\begin{array}{l}2x-3y+7=0\\ x+y+1=0\end{array}\Rightarrow x=-y-1\Rightarrow 2(-y-1)-3y+7=0$

$-5y+5=0\Rightarrow y=1\Rightarrow x=-2\Rightarrow A(-2,1)$

Vértice $B$:

$\{\begin{array}{l}2x-3y+7=0\\ x+2y-7=0\end{array}\Rightarrow x=7-2y\Rightarrow 2(7-2y)-3y+7=0$

$-7y+21=0\Rightarrow y=3\Rightarrow x=1\Rightarrow B(1,3)$

Vértice $C$:

$\{\begin{array}{l}x=3\\ x+2y-7=0\end{array}\Rightarrow 3+2y-7=0\Rightarrow y=2\Rightarrow C(3,2)$

Vértice $D$:

$\{\begin{array}{l}x=3\\ x+y+1=0\end{array}\Rightarrow 3+y+1=0\Rightarrow y=-4\Rightarrow D(3,-4)$

Los vértices de la región factible son $A(-2,1)$, $B(1,3)$, $C(3,2)$ y $D(3,-4)$.



La región factible es un recinto convexo y cerrado, así que el teorema fundamental de la programación lineal garantiza que el máximo y el mínimo de la función objetivo se alcanzan en alguno de sus vértices. Basta con valorar $f$ en los cuatro.

$f(-2,1)=2(-2)+3\cdot 1=-1$

$f(1,3)=2\cdot 1+3\cdot 3=11$

$f(3,2)=2\cdot 3+3\cdot 2=12$

$f(3,-4)=2\cdot 3+3(-4)=-6$

El máximo de $f$ es 12 y se alcanza en el vértice $C(3,2)$; el mínimo es $-6$ y se alcanza en el vértice $D(3,-4)$.