Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Pregunta 3 (2 puntos)

Opción A. Una panadería artesana de Murcia proveerá el pan para The Champions Burger Murcia 2026. Produce dos tipos de panes: el pan Premium y el pan Clásico. Cada hornada de pan Premium genera un beneficio de 900 euros, y cada hornada de pan Clásico, de 700 euros. Una hornada de pan Premium requiere 1 hora de horno, mientras que el pan clásico requiere 2 horas. La panadería tiene disponibles un máximo de 8 horas de horno al día. Por otro lado, cada hornada de pan premium requiere 3 kg de masa madre, y cada hornada de pan clásico, 2 kg. La panadería dispone de un máximo de 12 kg de masa madre preparada diariamente. Se pide:

a) Si la panadería quiere maximizar el beneficio diario, formule el problema identificando la función objetivo y las restricciones. [0,5 puntos]

b) Represente la región factible. [0,5 puntos]

c) Encuentre los vértices de esta región. [0,25 puntos]

d) ¿Cuántas hornadas de cada tipo de pan debe hacer la panadería para maximizar el beneficio diario? Calcule el beneficio máximo diario. [0,5 puntos]

e) Justifique razonadamente si la panadería puede hacer 4 hornadas de pan Premium y 2 hornadas de pan Clásico por día. [0,25 puntos]

Llamamos $x$ al número de hornadas diarias de pan Premium e $y$ al número de hornadas diarias de pan Clásico.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{panader}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{quiere}}\mathbf{\text{maximizar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{diario,}}\mathbf{\text{formule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{identificando}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{objetivo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{restricciones.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

Cada hornada Premium deja $900$ euros y cada hornada Clásico $700$ euros, de modo que la función objetivo a maximizar es el beneficio diario.

$B(x,y)=900x+700y$

El horno admite $8$ horas al día y cada hornada consume $1$ y $2$ horas respectivamente.

$x+2y\le 8$

De masa madre hay $12$ kg diarios y cada hornada gasta $3$ y $2$ kg.

$3x+2y\le 12$

A esto se añade que el número de hornadas no puede ser negativo. El problema queda planteado así:

$\text{Max }B(x,y)=900x+700y\text{sujeto a}\{\begin{array}{l}x+2y\le 8\\ 3x+2y\le 12\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

Se dibujan las rectas frontera por sus cortes con los ejes: $x+2y=8$ pasa por $(8,0)$ y $(0,4)$, y $3x+2y=12$ por $(4,0)$ y $(0,6)$. Como el origen cumple las dos desigualdades, la región factible es la intersección de los semiplanos que lo contienen dentro del primer cuadrante.



$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Encuentre}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}(\mathrm{0,25}\text{ puntos})$

Sobre los ejes manda en cada caso la restricción más exigente: en el eje $OX$, $x\le 4$ frente a $x\le 8$; en el eje $OY$, $y\le 4$ frente a $y\le 6$. El cuarto vértice es el corte de las dos rectas oblicuas.

$\{\begin{array}{l}3x+2y=12\\ x+2y=8\end{array}\Rightarrow 2x=4\Rightarrow x=2$

$2+2y=8\Rightarrow y=3$

Los vértices de la región factible son $O(0,0)$, $A(4,0)$, $C(2,3)$ y $B(0,4)$.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{hornadas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{pan}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{hacer}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{panader}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{maximizar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{diario?}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{diario.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

Por el teorema fundamental de la programación lineal el óptimo se alcanza en un vértice, así que basta valorar la función objetivo en los cuatro.

$B(0,0)=0;B(4,0)=3600;B(2,3)=1800+2100=3900;B(0,4)=2800$

La panadería debe hacer $2$ hornadas de pan Premium y $3$ de pan Clásico, con un beneficio máximo de $3900$ euros al día.

$\mathbf{\text{e)}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{razonadamente}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{panader}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{hacer}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{hornadas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{pan}}\mathbf{\text{Premium}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{hornadas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{pan}}\mathbf{\text{Cl}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{sico}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a.}}(\mathrm{0,25}\text{ puntos})$

Se comprueba si el punto $(4,2)$ cumple las dos restricciones.

$x+2y=4+4=8\le 8$

$3x+2y=12+4=16>12$

El punto agota justo las horas de horno, pero exigiría $16$ kg de masa madre y solo hay $12$ kg: queda fuera de la región factible y esa producción no es posible.