Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Apartado 1 - Cuestión B. (2,5 puntos)

[2,5 puntos] Una empresa del sector informático produce dos tipos de ordenadores portátiles: notebooks y gaming. La empresa obtiene $400\text{€}$ de beneficio por cada notebook y $500\text{€}$ por cada gaming. El proceso de fabricación se compleja y tiene tres fases: (1) selección y fabricación de componentes; (2) ensamblaje y (3) control de calidad. Los notebooks necesitan 2, 1 y 1 horas en cada fase, respectivamente, mientras que los gaming necesitan 1, 4 y 2 horas. En cada fase hay un límite de 14, 16 y 10 horas diarias. Se pide:

a) Si la empresa quiere maximizar el beneficio diario, fórmula el problema, identificando la función objetivo y las restricciones. [0,5 puntos]
b) Representa la región factible. [0,5 puntos]
c) Encuentra los vértices de esta región. [0,5 puntos]
d) ¿Cuántos ordenadores portátiles de cada tipo hay que producir para maximizar los beneficios diarios? [0,5 puntos]
e) Calcula el beneficio máximo diario posible. [0,25 puntos]

Llamamos $x$ al número de notebooks e $y$ al número de portátiles gaming fabricados al día.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{quiere}}\mathbf{\text{maximizar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{diario,}}\mathbf{\text{f}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rmula}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{problema,}}\mathbf{\text{identificando}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{objetivo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{restricciones.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

Cada notebook deja $400$ euros y cada gaming $500$, de modo que la función objetivo a maximizar es

$f(x,y)=400x+500y$

Cada fase impone una restricción con las horas que consume cada modelo y el límite diario disponible.

$\text{Fase}$	$\text{Notebook }(x)$	$\text{Gaming }(y)$	$\text{L}\acute{\text{ı}}\text{mite}$
Componentes	2	1	14
Ensamblaje	1	4	16
Control	1	2	10

$\{\begin{array}{l}2x+y\le 14\\ x+4y\le 16\\ x+2y\le 10\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Representa}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

Se dibuja cada recta frontera por sus cortes con los ejes: $2x+y=14$ pasa por $(7,0)$ y $(0,14)$; $x+4y=16$, por $(16,0)$ y $(0,4)$; $x+2y=10$, por $(10,0)$ y $(0,5)$. El origen cumple las tres desigualdades, así que la región factible es la intersección de los semiplanos que lo contienen dentro del primer cuadrante.



$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Encuentra}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

Sobre los ejes manda la restricción más exigente: en el eje $OX$ es $x\le 7$ y en el eje $OY$ es $y\le 4$. Los otros dos vértices salen de cortar las rectas oblicuas dos a dos.

$\{\begin{array}{l}2x+y=14\\ x+2y=10\end{array}\Rightarrow x=6;y=2$

$\{\begin{array}{l}x+2y=10\\ x+4y=16\end{array}\Rightarrow 2y=6\Rightarrow y=3;x=4$

Los vértices de la región factible son $O(0,0)$, $A(7,0)$, $B(6,2)$, $C(4,3)$ y $D(0,4)$.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{ordenadores}}\mathbf{\text{port}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tiles}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{producir}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{maximizar}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{beneficios}}\mathbf{\text{diarios?}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

Por el teorema fundamental de la programación lineal el óptimo se alcanza en un vértice, así que basta valorar la función objetivo en los cinco.

$f(0,0)=0;f(7,0)=2800;f(6,2)=3400;f(4,3)=3100;f(0,4)=2000$

El mayor valor se alcanza en $B(6,2)$: hay que producir $6$ notebooks y $2$ portátiles gaming al día.

$\mathbf{\text{e)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{diario}}\mathbf{\text{posible.}}(\mathrm{0,25}\text{ puntos})$

$f(6,2)=400\cdot 6+500\cdot 2=2400+1000=3400$

El beneficio máximo diario posible es de $3400$ euros.