Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Cuestión 2. (2,5 puntos) Sea $S$ la región del plano delimitado por el sistema de inecuaciones:
$\{\begin{array}{l}x+2y\le 10\\ x+y\ge 2\\ 0\le x\le 8\\ y\ge 0\end{array}$
a) Representa la región $S$ y calcula sus vértices. (2 puntos)
b) Determine los puntos de la región factible donde la función $f(x,y)=2x+y$ alcanza su valor máximo y mínimo. Calcule dichos valores. (0,5 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Representa}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathit{S}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcula}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices.}}(2\text{ puntos})$

Se dibuja cada recta frontera por sus cortes con los ejes y se elige el semiplano que cumple la desigualdad: $x+2y=10$ pasa por $(10,0)$ y $(0,5)$, y $x+y=2$ por $(2,0)$ y $(0,2)$. Las condiciones $0\le x\le 8$ e $y\ge 0$ acotan la franja del primer cuadrante.



Los vértices se obtienen cortando dos a dos las rectas que se encuentran en cada esquina.

$\{\begin{array}{l}x=0\\ x+y=2\end{array}\Rightarrow A(0,2);\{\begin{array}{l}y=0\\ x+y=2\end{array}\Rightarrow B(2,0)$

$\{\begin{array}{l}y=0\\ x=8\end{array}\Rightarrow C(8,0);\{\begin{array}{l}x=8\\ x+2y=10\end{array}\Rightarrow D(8,1)$

$\{\begin{array}{l}x=0\\ x+2y=10\end{array}\Rightarrow E(0,5)$

La región $S$ es un pentágono de vértices $A(0,2)$, $B(2,0)$, $C(8,0)$, $D(8,1)$ y $E(0,5)$.



Por el teorema fundamental de la programación lineal, sobre una región acotada los extremos de una función lineal se alcanzan en los vértices.

$f(0,2)=2;f(2,0)=4;f(8,0)=16;f(8,1)=17;f(0,5)=5$

El máximo vale $17$ y se alcanza en el vértice $D(8,1)$; el mínimo vale $2$ y se alcanza en el vértice $A(0,2)$.