Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Cuestión 2. (2,5 puntos) Una empresa fabrica relojes smartwatch de dos tamaños de pantalla distintos: el tipo A, de 44 milímetros y el tipo B de 40 milímetros. Su producción semanal debe ser al menos de 10 relojes en total y el número de smartwatch que fabrica la empresa tipo B de 40 mm no puede superar en más de 10 unidades a los de tipo A. Los costes de producción de cada tipo de smartwatch son de 150 € para el tipo A y de 100 € los del B, disponiendo la empresa de un máximo de 6000 € a la semana para el coste total de producción. Además, se conoce que los relojes smartwatch tipo A generan un beneficio de 130 € y los de tipo B de 140 €.

a) Si la empresa quiere maximizar su beneficio, formule el problema que debe resolver y represente la región factible, calculando sus vértices. (1,5 puntos)

b) ¿Cuántos smartwatch de cada tipo habrá que producir a la semana para que el beneficio total de la empresa sea máximo?, ¿Cuál es este beneficio máximo? (1 punto)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{quiere}}\mathbf{\text{maximizar}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{beneficio,}}\mathbf{\text{formule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{resolver}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{represente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible,}}\mathbf{\text{calculando}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices.}}(\mathrm{1,5}\text{ puntos})$

Llamamos $x$ al número de smartwatch de tipo A e $y$ al número de smartwatch de tipo B fabricados a la semana. La función objetivo a maximizar es el beneficio semanal.

$f(x,y)=130x+140y$

Cada condición del enunciado se traduce en una inecuación: la producción mínima total, que los de tipo B no superen en más de diez a los de tipo A y el presupuesto de producción, que simplificado entre $50$ queda como sigue.

$\{\begin{array}{l}x+y\ge 10\\ y\le x+10\\ 3x+2y\le 120\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$



Los vértices se obtienen cortando dos a dos las rectas frontera.

$\{\begin{array}{l}x=0\\ x+y=10\end{array}\Rightarrow A(0,10);\{\begin{array}{l}y=0\\ x+y=10\end{array}\Rightarrow B(10,0)$

$\{\begin{array}{l}y=0\\ 3x+2y=120\end{array}\Rightarrow C(40,0)$

$\{\begin{array}{l}y=x+10\\ 3x+2y=120\end{array}\Rightarrow 5x+20=120\Rightarrow x=20;y=30$

La región factible es el cuadrilátero de vértices $A(0,10)$, $B(10,0)$, $C(40,0)$ y $D(20,30)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{smartwatch}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{producir}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{semana}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo?,}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo?}}(1\text{ punto})$

Por el teorema fundamental de la programación lineal el óptimo se alcanza en un vértice, así que basta valorar la función objetivo en los cuatro.

$f(0,10)=1400;f(10,0)=1300;f(40,0)=5200;f(20,30)=2600+4200=6800$

La empresa debe producir $20$ smartwatch de tipo A y $30$ de tipo B a la semana, con un beneficio máximo de $6800$ euros.