Examen de Matemáticas CCSS de Región de Murcia 2023 (convocatoria ordinaria)

Cuestión 1. (2,5 puntos) Discutir el sistema lineal de ecuaciones en función de los valores del parámetro $a$:

$\{\begin{array}{l}ax+y+z=1\\ 2x+y+z=1\\ x+ay+z=2\end{array}$ (2 puntos)

Resolverlo para $a=0$. (0,5 puntos)

Cuestión 2. (2,5 puntos) Una empresa fabrica relojes smartwatch de dos tamaños de pantalla distintos: el tipo A, de 44 milímetros y el tipo B de 40 milímetros. Su producción semanal debe ser al menos de 10 relojes en total y el número de smartwatch que fabrica la empresa tipo B de 40 mm no puede superar en más de 10 unidades a los de tipo A. Los costes de producción de cada tipo de smartwatch son de 150 € para el tipo A y de 100 € los del B, disponiendo la empresa de un máximo de 6000 € a la semana para el coste total de producción. Además, se conoce que los relojes smartwatch tipo A generan un beneficio de 130 € y los de tipo B de 140 €.

a) Si la empresa quiere maximizar su beneficio, formule el problema que debe resolver y represente la región factible, calculando sus vértices. (1,5 puntos)

b) ¿Cuántos smartwatch de cada tipo habrá que producir a la semana para que el beneficio total de la empresa sea máximo?, ¿Cuál es este beneficio máximo? (1 punto)

Cuestión 3. (2,5 puntos) La función de coste de una empresa es $C(q)=q^3+3q+10$, donde $q$ representa las unidades producidas. Sabiendo que el precio de venta, en euros, de cada unidad producida es $p=30$, se desea conocer:

a) La función de beneficio de esta empresa. (0,5 puntos)

b) El número de unidades producidas que maximiza el beneficio de la empresa. Razone su resultado. (1,5 puntos)

c) El beneficio máximo que puede lograr la empresa. (0,5 puntos)

Cuestión 4. (2,5 puntos) Sea la función definida a trozos $f(x)=\{\begin{array}{ll}2+\sqrt{x}& si0<x\le 1\\ {\displaystyle \frac{8x-2}{2x}}& six>1\end{array}$

a) Estudiar la continuidad de la función en todo su dominio. (0,5 puntos)

b) Estudiar el crecimiento o decrecimiento de la función en su dominio. (1 punto)

c) Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa $x=2$. (1 punto)

Cuestión 5. (2,5 puntos) Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{2x^2}{9-x^2}}$, calcule:

a) El dominio de la función y los puntos de corte con los ejes. (0,5 puntos)

b) Asíntotas verticales y horizontales. (0,5 puntos)

c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. (1 punto)

d) Máximos y mínimos locales. (0,5 puntos)

Cuestión 6. (2,5 puntos) Dada la función $f(x)=x^2-2x+2$ y $g(x)=-x^2+6$. Calcular su área.

Cuestión 7. (2,5 puntos) Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{2\ln x}{x}}$

a) Calcular $\int f(x)dx$ (1 punto)

b) Calcular el área de la región delimitada por la gráfica de la función $f(x)$, y las rectas $x=1$ y $x=e$ (1,5 puntos).

Cuestión 8. (2,5 puntos)

a) La Dirección General de Tráfico ha realizado un estudio estadístico en la Región de Murcia sobre el uso del casco de protección por parte de los usuarios de patinetes eléctricos. El estudio estima que el 60 \% de los usuarios de estos patinetes son hombres y, de estos, el 30 \% usa el casco; mientras que, entre las mujeres que usan este medio para desplazarse, son el 40 \% las que usan casco de protección. Si elegimos un usuario de patinete eléctrico al azar.

i. Calcule la probabilidad de que use casco de protección. (0,5 puntos)

ii. Sabiendo que el usuario de patinete eléctrico usa casco de protección, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? (1 punto)

b) El gasto medio por cliente, en euros, en la lotería de las pasadas Navidades se distribuye según una variable Normal de media desconocida y desviación típica igual de 10 euros. Se elige una muestra aleatoria de 225 clientes, resultando que han tenido un gasto medio de 65 euros. Calcule un intervalo de confianza para el gasto medio de la lotería de Navidad de 2022 con un nivel de confianza del 97 \%. (1 punto)