Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Cuestión 4. (2,5 puntos) Sea la función definida a trozos $f(x)=\{\begin{array}{ll}2+\sqrt{x}& si0<x\le 1\\ {\displaystyle \frac{8x-2}{2x}}& six>1\end{array}$

a) Estudiar la continuidad de la función en todo su dominio. (0,5 puntos)

b) Estudiar el crecimiento o decrecimiento de la función en su dominio. (1 punto)

c) Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa $x=2$. (1 punto)

El segundo trozo se simplifica antes de empezar, porque se usa en los tres apartados.

${\displaystyle \frac{8x-2}{2x}}=4-{\displaystyle \frac{1}{x}}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudiar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{continuidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{todo}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{dominio.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

Cada trozo es continuo en su intervalo, por ser suma de funciones elementales continuas, así que solo hay que estudiar el punto de empalme $x=1$.

$f(1)=2+\sqrt{1}=3$

${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=2+1=3;{\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=4-1=3$

Los dos límites laterales coinciden con el valor de la función, de modo que $f$ es continua en todo su dominio $(0,+\mathrm{\infty })$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Estudiar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{decrecimiento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{dominio.}}(1\text{ punto})$

Se estudia el signo de la derivada en cada trozo.

$0<x<1:f(x)=2+x^{1\mathrm{/}2}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}>0$

$x>1:f(x)=4-x^{-1}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2}}>0$

La derivada es positiva en los dos tramos y la función es continua en el empalme, luego $f$ es creciente en todo su dominio $(0,+\mathrm{\infty })$ y no tiene extremos relativos.



Como $2>1$, se trabaja con el segundo trozo. La recta tangente se escribe en forma punto-pendiente.

$f(2)=4-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{7}{2}};f^{\mathrm{\prime }}(2)={\displaystyle \frac{1}{2^2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$

$y-{\displaystyle \frac{7}{2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}(x-2)$

La recta tangente a la gráfica en el punto de abscisa $x=2$ es $y={\displaystyle \frac{1}{4}}x+3$.