Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Cuestión 6. (2,5 puntos) Dada la función $f(x)=3e^{x\mathrm{/}2}$:
a) Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva $f(x)=3e^{x\mathrm{/}2}$ en el punto $x=-2$. (1,25 puntos)
b) Calcular el área del recinto limitado por la curva $f(x)=3e^{x\mathrm{/}2}$, el eje de abscisa y la recta $x=1$. (1,25 puntos)

La recta tangente se escribe en forma punto-pendiente, con la ordenada y la derivada en el punto.

$f(-2)=3e^{-1}={\displaystyle \frac{3}{e}}$

Se deriva aplicando la regla de la cadena.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{x\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{3}{2}}{e}^{x\mathrm{/}2}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(-2)={\displaystyle \frac{3}{2e}}$

$y-{\displaystyle \frac{3}{e}}={\displaystyle \frac{3}{2e}}(x+2)$

La recta tangente a la curva en el punto de abscisa $x=-2$ es $y={\displaystyle \frac{3}{2e}}x+{\displaystyle \frac{6}{e}}\approx \mathrm{0,55}x+\mathrm{2,21}$.



La exponencial no se anula nunca, así que la curva no corta al eje de abscisas: el recinto queda cerrado por la izquierda por el eje $OY$. Como $f(x)>0$ en $[0,1]$, el área coincide con la integral definida.



$A={\int }_0^{1}3e^{x\mathrm{/}2}dx$

Se busca una primitiva dividiendo entre la derivada del exponente.

$\int 3e^{x\mathrm{/}2}dx=3\cdot 2e^{x\mathrm{/}2}=6e^{x\mathrm{/}2}$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

$A=[6e^{x\mathrm{/}2}{]}_0^1=6e^{1\mathrm{/}2}-6=6(\sqrt{e}-1)$

El área del recinto es $6\sqrt{e}-6\approx \mathrm{3,89}$ unidades de área.