Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Cuestión 4. (2,5 puntos) Sea la función definida a trozos $f(x)=\{\begin{array}{ll}3x-3& \text{si }0<x<3\\ a{x}^2-6x+3a& \text{si }x\ge 3\end{array}$

a) Hallar el valor de $a$ para que la función sea continua en $x=3$ (1 punto)

b) Para ese valor de $a$ para $x\ge 3$, calcular la ecuación de la recta tangente que pasa el por punto $x=3$. (1,5 puntos)

Para que una función definida a trozos sea continua en el punto de empalme, los límites laterales deben coincidir con el valor de la función.

${\lim }_{x\to 3^{-}}f(x)=3\cdot 3-3=6$

${\lim }_{x\to 3^{+}}f(x)=f(3)=9a-18+3a=12a-18$

$12a-18=6\Rightarrow 12a=24\Rightarrow a=2$

La función es continua en $x=3$ únicamente para $a=2$.



Con $a=2$ el segundo trozo es $f(x)=2x^2-6x+6$. La recta tangente se escribe en forma punto-pendiente, con la ordenada y la derivada en el punto.

$f(3)=18-18+6=6$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=4x-6\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(3)=12-6=6$

$y-6=6(x-3)$

La recta tangente a la curva en el punto de abscisa $x=3$ es $y=6x-12$.