Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Ejercicio 3 (2,5 puntos). Responda únicamente a una de las dos preguntas, o bien 3.1 o 3.2.

Pregunta 3.2. Se considera la función real de variable real definida por

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x}{2x-1}}& \text{si }x<0\\ {\displaystyle \frac{4x^3+x^2}{x^2-9}}& \text{si }x\ge 0\end{array}$

3.2.a) (0,5 puntos) Determine el dominio de $f(x)$.

3.2.b) (0,5 puntos) Estudie la continuidad de $f(x)$ en $x=0$.

3.2.c) (1,5 puntos) Calcule las asíntotas de $f(x)$.

Solo pueden quedar fuera del dominio los puntos que anulan un denominador dentro del trozo en el que ese denominador actúa.

$2x-1=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\notin }(-\mathrm{\infty },0)$

$x^2-9=0\Rightarrow x=\pm 3,\text{y de ellos solo }x=3\in [0,+\mathrm{\infty })$

El único punto que hay que excluir es $x=3$, así que $\text{Dom}f=\mathbb{R}-\{3\}$.



En $x=0$ cambia la definición de la función, de modo que comparamos los dos límites laterales con el valor de la función.

$f(0)={\displaystyle \frac{4\cdot 0^3+0^2}{0^2-9}}={\displaystyle \frac{0}{-9}}=0$

${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\displaystyle \frac{0}{2\cdot 0-1}}={\displaystyle \frac{0}{-1}}=0$

${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=f(0)=0$

Los tres valores coinciden, luego la función es continua en $x=0$.



El único candidato a asíntota vertical es el punto excluido del dominio. El numerador tiende a $4\cdot 27+9=117>0$ mientras el denominador se anula cambiando de signo.

${\lim }_{x\to 3^{-}}{\displaystyle \frac{4x^3+x^2}{x^2-9}}={\displaystyle \frac{117}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty },{\lim }_{x\to 3^{+}}{\displaystyle \frac{4x^3+x^2}{x^2-9}}={\displaystyle \frac{117}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }$

La recta $x=3$ es asíntota vertical.

En $-\mathrm{\infty }$ manda el primer trozo, donde numerador y denominador tienen el mismo grado.

${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x}{2x-1}}={\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{2-{\displaystyle \frac{1}{x}}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

La recta $y={\displaystyle \frac{1}{2}}$ es asíntota horizontal cuando $x\to -\mathrm{\infty }$, y por haberla no hay oblicua en ese lado.

En $+\mathrm{\infty }$ manda el segundo trozo, cuyo numerador supera en un grado al denominador: hay asíntota oblicua $y=mx+n$.

$m={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{4x^3+x^2}{x^3-9x}}=4$

$n={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}({\displaystyle \frac{4x^3+x^2}{x^2-9}}-4x)={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2+36x}{x^2-9}}=1$

La recta $y=4x+1$ es asíntota oblicua cuando $x\to +\mathrm{\infty }$.

La función tiene la asíntota vertical $x=3$, la horizontal $y={\displaystyle \frac{1}{2}}$ por la izquierda y la oblicua $y=4x+1$ por la derecha.