Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Consideremos la función a trozos siguiente

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-3x+2& \text{si }x<0,\\ e^{ax}+1& \text{si }x\ge 0.\end{array}$

a) Calcule los valores de $a$ para que $f$ sea continua y derivable. [5 puntos]

b) Para $a=4$ calcule el área comprendida entre la gráfica de $f(x)$ y las rectas $x=1$, $x=2$ e $y=0$. [5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathit{f}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{continua}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{derivable.}}\mathbf{\text{[5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Dentro de cada trozo no hay problema: el primero es un polinomio y el segundo una exponencial, y las dos son funciones continuas y derivables en todo $\mathbb{R}$. El único punto dudoso es el empalme, $x=0$.

Empezamos por la continuidad, igualando los límites laterales.

${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{-}}(x^2-3x+2)=2$

${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}(e^{ax}+1)=e^0+1=1+1=2$

Los dos límites valen 2, y coinciden con $f(0)=2$, sea cual sea $a$: el parámetro está multiplicando a $x$ dentro del exponente, y en $x=0$ el exponente se anula.

$f(x)\text{ es continua para todo }a\in \mathbb{R}$

Para la derivabilidad derivamos los dos trozos, aplicando la regla de la cadena en la exponencial.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\{\begin{array}{ll}2x-3,& x<0\\ a{e}^{ax},& x>0\end{array}$

$f^{\mathrm{\prime }}(0^{-})=2\cdot 0-3=-3$

$f^{\mathrm{\prime }}(0^{+})=a{e}^0=a$

$f^{\mathrm{\prime }}(0^{-})=f^{\mathrm{\prime }}(0^{+})\Rightarrow -3=a\Rightarrow a=-3$

La función es continua para cualquier valor de $a$, y es derivable únicamente para $a=-3$.



El intervalo $[1,2]$ está enteramente en el segundo trozo, que con $a=4$ es

$f(x)=e^{4x}+1$

Esa función es siempre positiva, así que el recinto queda por encima del eje de abscisas y el área coincide con la integral definida.

$\acute{\text{A}}\text{rea}={\int }_1^2(e^{4x}+1)dx$

Recordamos la integral de la exponencial compuesta:

$\int e^{kx}dx={\displaystyle \frac{e^{kx}}{k}}+C$

$\int (e^{4x}+1)dx={\displaystyle \frac{e^{4x}}{4}}+x$

Aplicamos la regla de Barrow.

$\acute{\text{A}}\text{rea}={[{\displaystyle \frac{e^{4x}}{4}}+x]}_1^2=({\displaystyle \frac{e^8}{4}}+2)-({\displaystyle \frac{e^4}{4}}+1)$

$={\displaystyle \frac{e^8-e^4}{4}}+1$

$e^8\approx \mathrm{2980,958},e^4\approx \mathrm{54,598}$

$\acute{\text{A}}\text{rea}\approx {\displaystyle \frac{\mathrm{2980,958}-\mathrm{54,598}}{4}}+1={\displaystyle \frac{\mathrm{2926,360}}{4}}+1=\mathrm{731,590}+1$

$\acute{\text{A}}\text{rea}\approx \mathrm{732,59}\text{unidades de }\acute{\text{a}}\text{rea}$

El área pedida es ${\displaystyle \frac{e^8-e^4}{4}}+1\approx \mathrm{732,59}$ unidades de área. Sale tan grande porque la exponencial crece muy deprisa: en $x=2$ la función ya vale casi 2982.