Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Consideremos la función definida a trozos siguiente

$f(x)=\{\begin{array}{ll}-4x+a& \text{si }x\le -2,\\ x^2-5& \text{si }-2<x<1,\\ -7x+3& \text{si }x\ge 1.\end{array}$

a) Calcule los valores de $a$ para que $f(x)$ sea continua. [3 puntos]

b) ¿Es $f(x)$ derivable para $a=1$? [3 puntos]

c) Para $a=0$, determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$. [4 puntos]

Dentro de cada trozo la función es un polinomio, y los polinomios son continuos. Los puntos dudosos son los dos empalmes, $x=-2$ y $x=1$.

Empezamos por $x=-2$, que es donde aparece el parámetro. El primer trozo incluye ese punto, luego $f(-2)=-4(-2)+a=8+a$.

${\lim }_{x\to -2^{-}}f(x)=-4(-2)+a=8+a$

${\lim }_{x\to -2^{+}}f(x)=(-2{)}^2-5=4-5=-1$

$8+a=-1\Rightarrow a=-9$

Comprobamos ahora el otro empalme, $x=1$, donde no interviene el parámetro.

${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=1^2-5=-4$

${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=-7\cdot 1+3=-4$

Los dos coinciden con $f(1)=-4$, así que en $x=1$ la función es continua siempre.

La función es continua únicamente para $a=-9$.



Con $a=1$ hay que comprobar antes la continuidad, porque una función que no es continua en un punto tampoco puede ser derivable en él.

${\lim }_{x\to -2^{-}}f(x)=8+1=9\mathrm{\ne }-1={\lim }_{x\to -2^{+}}f(x)$

En $x=-2$ la función presenta una discontinuidad de salto finito, luego no es derivable ahí.

En $x=1$ sí es continua, así que hay que mirar las derivadas laterales.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\{\begin{array}{ll}-4,& x<-2\\ 2x,& -2<x<1\\ -7,& x>1\end{array}$

$f^{\mathrm{\prime }}(1^{-})=2\cdot 1=2,f^{\mathrm{\prime }}(1^{+})=-7$

$2\mathrm{\ne }-7$

Las derivadas laterales existen pero no coinciden, así que tampoco es derivable en $x=1$: la gráfica presenta ahí un punto anguloso.

Para $a=1$ la función no es derivable. Falla en dos puntos: en $x=-2$ porque no es continua, y en $x=1$ porque las derivadas laterales son distintas. En el resto de puntos sí es derivable.



Con $a=0$ la función queda

$f(x)=\{\begin{array}{ll}-4x& \text{si }x\le -2\\ x^2-5& \text{si }-2<x<1\\ -7x+3& \text{si }x\ge 1\end{array}$

Estudiamos el signo de la derivada trozo a trozo.

En el primer trozo la derivada es la constante $-4<0$, luego la función decrece.

En el tercer trozo la derivada es la constante $-7<0$, luego también decrece.

En el trozo central la derivada es $2x$, que se anula en un punto interior.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x=0\Rightarrow x=0$

$\text{Si }x=-1,f^{\mathrm{\prime }}(-1)=-2<0$

$\text{Si }x=\mathrm{0,5},f^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{0,5})=1>0$



La función decrece en $(-\mathrm{\infty },-2)$, en $(-2,0)$ y en $(1,+\mathrm{\infty })$, y crece únicamente en $(0,1)$. En $x=0$ hay un mínimo relativo, de valor $f(0)=-5$. Conviene recordar que con $a=0$ la función sigue teniendo un salto en $x=-2$, y por eso el primer intervalo de decrecimiento se corta ahí.