Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Los beneficios de una empresa (en miles de euros) $B(t)$ durante los primeros 10 años dependen del tiempo transcurrido $t$ (en años) desde su creación según la función

$B(t)=\{\begin{array}{ll}{t}^2-8t+2A& 1\le t<6\\ Bt& 6\le t\le 10\end{array}$

Calcule, razonando la respuesta, las constantes $A$ y $B$ sabiendo que la función $B(t)$ es continua y que en el año 8 obtuvo unos beneficios de 16 mil euros. [2 puntos]

En cada uno de los dos tramos la función es polinómica y, por tanto, continua. La continuidad solo puede fallar en $t=6$, que es donde cambia la expresión, así que se impone allí la igualdad de los límites laterales; la segunda condición la dan los beneficios del año 8.

El año 8 pertenece al segundo tramo, porque $6\le 8\le 10$, y eso determina $B$ directamente.

$B(8)=8B=16\Rightarrow B=2$

Se impone ahora la continuidad en $t=6$.

${\lim }_{t\to 6^{-}}B(t)={\lim }_{t\to 6^{-}}(t^2-8t+2A)=36-48+2A=2A-12$

${\lim }_{t\to 6^{+}}B(t)={\lim }_{t\to 6^{+}}Bt=6B=6\cdot 2=12=B(6)$

Para que la función sea continua en $t=6$ los dos límites laterales deben coincidir con el valor de la función.

$2A-12=12\Rightarrow 2A=24\Rightarrow A=12$

Se comprueban las dos condiciones con estos valores. En $t=6$: $36-48+24=12$ y $2\cdot 6=12$. En $t=8$: $2\cdot 8=16$ mil euros.

Las constantes buscadas son $A=12$ y $B=2$.