Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Dada la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{a}{1-x}}& \text{si }x\le 0\\ b{x}^2+2x+c& \text{si }x>0\end{array}$ donde $a,b,c$ son parámetros reales. Se pide:

a) Determina los valores de los parámetros para que $f(x)$ sea continua en $x=0$, la función tenga un extremo relativo en $x=1$ y $f^{\mathrm{\prime }}(-1)=-1$. Caracteriza si el extremo es máximo o mínimo. (5 puntos)

b) Calcula, para los valores $a=1$, $b=-2$, $c=3$: ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)}$ y ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)}$. (2 puntos)

c) Calcula, para los valores $a=1$, $b=-2$, $c=3$: ${\displaystyle {\int }_1^{2}f(x)dx}$. (3 puntos)

Se traducen las tres condiciones del enunciado en tres ecuaciones.

Continuidad en $x=0$: deben coincidir los límites laterales y el valor de la función.

$f(0)={\displaystyle \frac{a}{1-0}}=a$

${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=b\cdot 0^2+2\cdot 0+c=c$

$a=c$

Extremo relativo en $x=1$: el punto pertenece a la segunda rama, cuya derivada es $2bx+2$, y en un extremo la derivada se anula.

$2b\cdot 1+2=0\Rightarrow 2b=-2\Rightarrow b=-1$

Condición $f^{\mathrm{\prime }}(-1)=-1$: el punto pertenece a la primera rama. Se deriva

$f(x)={\displaystyle \frac{a}{1-x}}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{a}{(1-x{)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(-1)={\displaystyle \frac{a}{(1-(-1){)}^2}}={\displaystyle \frac{a}{4}}=-1\Rightarrow a=-4$

De la primera condición, $c=a=-4$.

$a=-4,b=-1,c=-4$

Para caracterizar el extremo se recurre a la segunda derivada de la rama correspondiente.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2bx+2=-2x+2\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-2<0$

Al ser la segunda derivada negativa, en $x=1$ la función presenta un máximo relativo.

Los valores buscados son $a=-4$, $b=-1$ y $c=-4$, y el extremo de $x=1$ es un máximo relativo.



Con esos valores la función queda

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{1-x}}& \text{si }x\le 0\\ -2x^2+2x+3& \text{si }x>0\end{array}$

Cuando $x\to -\mathrm{\infty }$ se usa la primera rama. El grado del denominador es mayor que el del numerador, así que el límite es cero.

${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{1-x}}={\displaystyle \frac{1}{+\mathrm{\infty }}}=0$

Cuando $x\to +\mathrm{\infty }$ se usa la segunda rama. En un polinomio manda el término de mayor grado, aquí $-2x^2$.

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}(-2x^2+2x+3)=-\mathrm{\infty }$

Los límites pedidos son ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=0}$, de modo que la recta $y=0$ es asíntota horizontal por la izquierda, y ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }}$.



Todo el intervalo de integración $[1,2]$ está contenido en el tramo $x>0$, así que se integra la segunda expresión.

$\int (-2x^2+2x+3)dx=-{\displaystyle \frac{2x^3}{3}}+x^2+3x$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

${\int }_1^{2}f(x)dx={[-{\displaystyle \frac{2x^3}{3}}+x^2+3x]}_1^2$

$=(-{\displaystyle \frac{16}{3}}+4+6)-(-{\displaystyle \frac{2}{3}}+1+3)=(-{\displaystyle \frac{16}{3}}+10)-(-{\displaystyle \frac{2}{3}}+4)$

$={\displaystyle \frac{14}{3}}-{\displaystyle \frac{10}{3}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$

El valor de la integral definida es ${\displaystyle \frac{4}{3}}\approx \mathrm{1,33}$.