Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Sea la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}-x^2-2x& \text{si }x<0\\ x^3-6x^2+9x& \text{si }x\ge 0\end{array}$

a) Estudia si $f(x)$ es continua en $x=0$. ¿Es $f(x)$ continua en la recta real? (3 puntos)

b) Halla los mínimos y máximos absolutos de $f(x)$ en $x\in [1,4]$. (3 puntos)

c) Analiza la concavidad $(\cap )$ - convexidad $(\cup )$ de $f(x)$ cuando $x>0$. (1 punto)

d) Calcula ${\displaystyle {\int }_1^{2}f(x)dx}$. (3 puntos)

Para que una función definida a trozos sea continua en el punto donde cambia la expresión, deben coincidir los dos límites laterales y el valor de la función.

$f(0)=0^3-6\cdot 0^2+9\cdot 0=0$

${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{-}}(-x^2-2x)=0$

${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}(x^3-6x^2+9x)=0$

${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=f(0)=0$

La función es continua en $x=0$.

Las dos ramas son funciones polinómicas, y todo polinomio es continuo en $\mathbb{R}$, de modo que cada trozo es continuo en su intervalo. Como además enlazan bien en el único punto de cambio, la función $f(x)$ es continua en toda la recta real.



Todo el intervalo $[1,4]$ está contenido en el tramo $x\ge 0$, así que se trabaja con $f(x)=x^3-6x^2+9x$.

Se deriva y se iguala a cero en busca de los puntos críticos.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x^2-4x+3=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{4\pm \sqrt{16-12}}{2}}={\displaystyle \frac{4\pm 2}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=1\\ x=3\end{array}$

Los dos puntos críticos pertenecen al intervalo. Se estudia el signo de la derivada:

$\{\begin{array}{l}\text{Si }x=\mathrm{0,5},f^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{0,5})=3(\mathrm{0,25}-2+3)=\mathrm{3,75}>0\\ \text{Si }x=2,f^{\mathrm{\prime }}(2)=3(4-8+3)=-3<0\\ \text{Si }x=4,f^{\mathrm{\prime }}(4)=3(16-16+3)=9>0\end{array}$



Por ser continua en un intervalo cerrado, la función alcanza sus extremos absolutos en los puntos críticos interiores o en los bordes del intervalo. Se valora la función en los tres candidatos:

$f(1)=1-6+9=4$

$f(3)=27-54+27=0$

$f(4)=64-96+36=4$

El mínimo absoluto vale $0$ y se alcanza en $x=3$; el máximo absoluto vale $4$ y se alcanza dos veces, en $x=1$ y en $x=4$.



Para estudiar la curvatura se calcula la segunda derivada y se iguala a cero.

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6x-12$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x=2$

$\{\begin{array}{l}\text{Si }x=1,f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=-6<0\\ \text{Si }x=3,f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(3)=6>0\end{array}$

$\begin{array}{ccc}& (0,2)& (2,+\mathrm{\infty })\\ f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)& -& +\\ f(x)& \cap & \cup \end{array}$

Para $x>0$ la función es cóncava $(\cap )$ en $(0,2)$ y convexa $(\cup )$ en $(2,+\mathrm{\infty })$, con un punto de inflexión en $x=2$.



El intervalo de integración está contenido en el tramo $x\ge 0$, así que se integra el polinomio de tercer grado.

$\int (x^3-6x^2+9x)dx={\displaystyle \frac{x^4}{4}}-2x^3+{\displaystyle \frac{9x^2}{2}}$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

${\int }_1^{2}f(x)dx={[{\displaystyle \frac{x^4}{4}}-2x^3+{\displaystyle \frac{9x^2}{2}}]}_1^2$

$=({\displaystyle \frac{16}{4}}-16+18)-({\displaystyle \frac{1}{4}}-2+{\displaystyle \frac{9}{2}})=(4-16+18)-({\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{5}{2}})$

$=6-{\displaystyle \frac{11}{4}}={\displaystyle \frac{24-11}{4}}={\displaystyle \frac{13}{4}}$

El valor de la integral definida es ${\displaystyle \frac{13}{4}}=\mathrm{3,25}$.