Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

A.3. ( 2 puntos)

Se considera la función real de variable real

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{6x}{2x^2+1}}& \text{si }x<1\\ 2m+\ln x& \text{si }x\ge 1\end{array}$

a) Estudie los valores del parámetro $m\in \mathbb{R}$ para que $f(x)$ sea continua en $x=1$ y calcule la derivada de la función para $x<1.$
b) Halle el área de la región del plano limitada por la curva $y=f(x),$ las rectas $x=-1y=x=0$ y el eje $OX\mathrm{.}$

Cada trozo es continuo en su intervalo, así que solo hay que imponer que los límites laterales y el valor de la función coincidan en el punto de empalme.

${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{-}}{\displaystyle \frac{6x}{2x^2+1}}={\displaystyle \frac{6}{3}}=2$

${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=f(1)=2m+\ln 1=2m$

$2m=2\Rightarrow m=1$

La función es continua en $x=1$ únicamente para $m=1$.

Para $x<1$ derivamos el cociente aplicando su regla.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{6(2x^2+1)-6x\cdot 4x}{(2x^2+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{12x^2+6-24x^2}{(2x^2+1{)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{6-12x^2}{(2x^2+1{)}^2}}$



Todo el intervalo $[-1,0]$ cumple $x<1$, de modo que en él la función es $f(x)={\displaystyle \frac{6x}{2x^2+1}}$. Como el numerador es negativo y el denominador positivo, la curva queda por debajo del eje de abscisas y hay que cambiar el signo de la integral.

$\acute{\text{A}}\text{rea}=-{\int }_{-1}^0{\displaystyle \frac{6x}{2x^2+1}}dx$

El integrando tiene en el numerador un múltiplo de la derivada del denominador, así que la primitiva es un logaritmo neperiano.

$\int {\displaystyle \frac{6x}{2x^2+1}}dx={\displaystyle \frac{3}{2}}\int {\displaystyle \frac{4x}{2x^2+1}}dx={\displaystyle \frac{3}{2}}\ln (2x^2+1)$

$\acute{\text{A}}\text{rea}=-{[{\displaystyle \frac{3}{2}}\ln (2x^2+1)]}_{-1}^0=-({\displaystyle \frac{3}{2}}\ln 1-{\displaystyle \frac{3}{2}}\ln 3)$

$\acute{\text{A}}\text{rea}={\displaystyle \frac{3}{2}}\ln 3\approx \mathrm{1,65}$

El área de la región pedida es ${\displaystyle \frac{3}{2}}\ln 3\approx \mathrm{1,65}$ unidades de área.