Examen de Matemáticas CCSS de Aragón 2021 (convocatoria extraordinaria)

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}3& m\\ 6& 3\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 3& m\\ 0& 6& 3\end{array}\right)$. Se pide:

a) Determina los valores del parámetro $m$ para que $A$ tenga inversa. Para $m=2$, calcula $A^{-1}$. (3 puntos)

b) Discute y resuelve, según los valores del parámetro $m$, el sistema de ecuaciones $B\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$. (7 puntos)

El nutricionista de una fábrica de piensos aconseja a los granjeros dedicados a la cría de cerdos una ingesta de, al menos, 28 unidades de proteína y, al menos, 36 unidades de grasa vegetal. El nutricionista sabe que cada kilo de soja proporciona 5 unidades de proteína y 3 unidades de grasa y cada kilo de maíz proporciona 1 unidad de proteína y 3 unidades de grasa. Los precios del kilo de soja y maíz son 3 € y 2 €, respectivamente, y el granjero dispone de un presupuesto de 60 €.

a) Plantea y resuelve un problema de programación lineal que permita calcular la cantidad de soja y maíz que deben consumir los cerdos de manera que se minimice el coste de la alimentación. Obtén dicho valor mínimo. (8 puntos)

b) Si el granjero pensara que la dieta más cara es la mejor, ¿sería una solución óptima adquirir 12 kg de soja y 15 kg de maíz? (2 puntos)

Sea la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}-x^2-2x& \text{si }x<0\\ x^3-6x^2+9x& \text{si }x\ge 0\end{array}$

a) Estudia si $f(x)$ es continua en $x=0$. ¿Es $f(x)$ continua en la recta real? (3 puntos)

b) Halla los mínimos y máximos absolutos de $f(x)$ en $x\in [1,4]$. (3 puntos)

c) Analiza la concavidad $(\cap )$ - convexidad $(\cup )$ de $f(x)$ cuando $x>0$. (1 punto)

d) Calcula ${\displaystyle {\int }_1^{2}f(x)dx}$. (3 puntos)

Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{2x^2-16}{x+3}}$

a) Calcula el dominio y las asíntotas de $f(x)$. (4 puntos)

b) Determina, si existen, los máximos y mínimos relativos de $f(x)$ en su dominio. (6 puntos)

Los profesores Alvarado, Benítez y Cadiñanos han corregido el 25 %, 30 % y 45 %, respectivamente, de los exámenes de una oposición. Los porcentajes de cometer algún fallo en la corrección son 1 %, 2 % y 3 %, respectivamente. Si se selecciona un examen al azar:

a) Calcula la probabilidad de que esté mal corregido. (3 puntos)

b) El examen tiene un error de corrección, calcula la probabilidad de haber sido corregido por Benítez. (3 puntos)

c) El examen tiene un error de corrección, ¿qué corrector tiene mayor probabilidad de haber corregido mal el examen? (4 puntos)

Se desea estimar la proporción de estudiantes que viven en un colegio mayor a través del porcentaje observado en una muestra aleatoria de estudiantes.

a) Por estudios previos se sabe que el porcentaje de estudiantes alojados en un colegio mayor es del 20 %. ¿De qué tamaño debemos elegir la muestra para que el error de la estimación de la proporción sea menor de 0,1 con un nivel de confianza del 98 %? (6 puntos)

b) Se toma una muestra de 50 estudiantes y se observa que 12 se alojan en un colegio mayor, calcula el intervalo de confianza al 98 % para la proporción de estudiantes alojados en un colegio mayor. (4 puntos)